Méthode du point médian

En analyse numérique, la méthode du point médian est une méthode permettant de réaliser le calcul numérique d'une intégrale

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.}$

Le principe est d'approcher l'intégrale de la fonction ${\displaystyle f}$ par l'aire d'un rectangle de base de segment ${\displaystyle [a,b]}$ et de hauteur ${\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)}$, ce qui donne :

${\displaystyle R=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right).}$

Cette aire est aussi celle du trapèze de base ${\displaystyle [a,b]}$ et dont le côté opposé est tangent au graphe de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle c={\frac {a+b}{2}}}$, ce qui explique sa relative bonne précision.

Pour une fonction à valeurs réelles, deux fois continûment différentiable sur le segment ${\displaystyle [a,b]}$, l'erreur commise est de la forme

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x-(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)={\frac {(b-a)^{3}}{24}}f''(\xi )}$

pour un certain ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$.

Démonstration

Soit ${\displaystyle F}$ une primitive de ${\displaystyle f}$ sur l'intervalle ${\displaystyle [a,b]}$, on peut appliquer le théorème de Taylor-Lagrange à la fonction ${\displaystyle F}$ à l'ordre 2 entre les points ${\displaystyle t\in [a,b]}$ et ${\displaystyle c={\frac {a+b}{2}}}$. Pour tout ${\displaystyle t\in [a,b]}$ il existe ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$ tel que

${\displaystyle F(t)=F(c)+F'(c)(t-c)+{\frac {1}{2}}F''(c)(t-c)^{2}+{\frac {1}{6}}F'''(\xi )(t-c)^{3}}$

en particulier en prenant ${\displaystyle t=a}$ puis ${\displaystyle t=b}$, il existe ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}\in [a,b]}$ tel que

${\displaystyle F(b)=F(c)+F'(c)(b-c)+{\frac {1}{2}}F''(c)(b-c)^{2}+{\frac {1}{6}}F'''(\xi _{1})(b-c)^{3}=F(c)+f(c){\frac {b-a}{2}}+{\frac {1}{2}}f'(c)\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{6}}f''(\xi _{1})\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{3}}$

et

${\displaystyle F(a)=F(c)+F'(c)(a-c)+{\frac {1}{2}}F''(c)(a-c)^{2}+{\frac {1}{6}}F'''(\xi _{2})(a-c)^{3}=F(c)+f(c){\frac {a-b}{2}}+{\frac {1}{2}}f'(c)\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{6}}f''(\xi _{2})\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{3}}$

En soustrayant les deux égalités on obtient :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)=f(c)(b-a)+{\frac {(b-a)^{3}}{24}}\left({\frac {f''(\xi _{1})+f''(\xi _{2})}{2}}\right)}$

Le théorème des valeurs intermédiaires garantit alors l’existence d'un réel ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$ telle que ${\displaystyle {\frac {f''(\xi _{1})+f''(\xi _{2})}{2}}=f''(\xi )}$.

Sur une subdivision de l'intervalle

En découpant l'intervalle ${\displaystyle [a,b]}$ en ${\displaystyle n}$ segments ${\displaystyle [a_{k},a_{k+1}]}$ de même longueur ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$ et en appliquant la formule précédente sur chacun des petits segments ${\displaystyle [a_{k},a_{k+1}]}$ où ${\displaystyle a_{k}=a+kh}$ pour ${\displaystyle k\in \{0,1,2,...,n-1\}}$ on obtient

${\displaystyle \left|\int _{a_{k}}^{a_{k+1}}f(x)\,\mathrm {d} x-hf\left(a_{k}+{\frac {h}{2}}\right)\right|\leq {\frac {(a_{k+1}-a_{k})^{3}}{24}}M_{2}}$ avec ${\displaystyle M_{2}={\text{sup}}_{[a,b]}|f''|}$

En sommant sur ${\displaystyle k}$ on obtient

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x-h\sum _{k=0}^{n-1}f\left(a_{k}+{\frac {h}{2}}\right)\right|&=\left|\sum _{k=0}^{n-1}\left(\int _{a_{k}}^{a_{k+1}}f(x)\,\mathrm {d} x-hf(a_{k}+{\frac {h}{2}})\right)\right|\\&\leq \sum _{k=0}^{n-1}\left|\int _{a_{k}}^{a_{k+1}}f(x)\,\mathrm {d} x-hf(a_{k}+{\frac {h}{2}})\right|\\&\leq \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(a_{k+1}-a_{k})^{3}}{24}}M_{2}\\&\leq {\frac {h^{3}}{24}}M_{2}\sum _{k=0}^{n-1}1={\frac {M_{2}}{24}}\left({\frac {b-a}{n}}\right)^{3}n={\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}}\end{aligned}}}$

Remarques

L'erreur est deux fois plus petite que celle donnée par la méthode des trapèzes.

Cette méthode est un cas des formules de Newton-Cotes, où le polynôme d'interpolation est de degré ${\displaystyle 0}$. Elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à ${\displaystyle 1}$.

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