En analyse numérique , la méthode du point médian est une méthode permettant de réaliser le calcul numérique d'une intégrale
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.}
Le principe est d'approcher l'intégrale de la fonction
f
{\displaystyle f}
aire d'un rectangle de base de segment
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
f
(
a
+
b
2
)
{\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)}
:
R
=
(
b
−
a
)
f
(
a
+
b
2
)
.
{\displaystyle R=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right).}
Cette aire est aussi celle du trapèze de base
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
tangent au graphe de
f
{\displaystyle f}
c
=
a
+
b
2
{\displaystyle c={\frac {a+b}{2}}}
Pour une fonction à valeurs réelles, deux fois continûment différentiable sur le segment
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
erreur commise est de la forme
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
−
(
b
−
a
)
f
(
a
+
b
2
)
=
(
b
−
a
)
3
24
f
″
(
ξ
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x-(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)={\frac {(b-a)^{3}}{24}}f''(\xi )}
pour un certain
ξ
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \xi \in [a,b]}
Soit
F
{\displaystyle F}
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
théorème de Taylor-Lagrange à la fonction
F
{\displaystyle F}
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle t\in [a,b]}
c
=
a
+
b
2
{\displaystyle c={\frac {a+b}{2}}}
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle t\in [a,b]}
ξ
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \xi \in [a,b]}
F
(
t
)
=
F
(
c
)
+
F
′
(
c
)
(
t
−
c
)
+
1
2
F
″
(
c
)
(
t
−
c
)
2
+
1
6
F
‴
(
ξ
)
(
t
−
c
)
3
{\displaystyle F(t)=F(c)+F'(c)(t-c)+{\frac {1}{2}}F''(c)(t-c)^{2}+{\frac {1}{6}}F'''(\xi )(t-c)^{3}}
en particulier en prenant
t
=
a
{\displaystyle t=a}
t
=
b
{\displaystyle t=b}
ξ
1
,
ξ
2
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}\in [a,b]}
F
(
b
)
=
F
(
c
)
+
F
′
(
c
)
(
b
−
c
)
+
1
2
F
″
(
c
)
(
b
−
c
)
2
+
1
6
F
‴
(
ξ
1
)
(
b
−
c
)
3
=
F
(
c
)
+
f
(
c
)
b
−
a
2
+
1
2
f
′
(
c
)
(
b
−
a
2
)
2
+
1
6
f
″
(
ξ
1
)
(
b
−
a
2
)
3
{\displaystyle F(b)=F(c)+F'(c)(b-c)+{\frac {1}{2}}F''(c)(b-c)^{2}+{\frac {1}{6}}F'''(\xi _{1})(b-c)^{3}=F(c)+f(c){\frac {b-a}{2}}+{\frac {1}{2}}f'(c)\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{6}}f''(\xi _{1})\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{3}}
et
F
(
a
)
=
F
(
c
)
+
F
′
(
c
)
(
a
−
c
)
+
1
2
F
″
(
c
)
(
a
−
c
)
2
+
1
6
F
‴
(
ξ
2
)
(
a
−
c
)
3
=
F
(
c
)
+
f
(
c
)
a
−
b
2
+
1
2
f
′
(
c
)
(
b
−
a
2
)
2
+
1
6
f
″
(
ξ
2
)
(
b
−
a
2
)
3
{\displaystyle F(a)=F(c)+F'(c)(a-c)+{\frac {1}{2}}F''(c)(a-c)^{2}+{\frac {1}{6}}F'''(\xi _{2})(a-c)^{3}=F(c)+f(c){\frac {a-b}{2}}+{\frac {1}{2}}f'(c)\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{6}}f''(\xi _{2})\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{3}}
En soustrayant les deux égalités on obtient :
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
f
(
c
)
(
b
−
a
)
+
(
b
−
a
)
3
24
(
f
″
(
ξ
1
)
+
f
″
(
ξ
2
)
2
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)=f(c)(b-a)+{\frac {(b-a)^{3}}{24}}\left({\frac {f''(\xi _{1})+f''(\xi _{2})}{2}}\right)}
Le théorème des valeurs intermédiaires garantit alors l’existence d'un réel
ξ
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \xi \in [a,b]}
f
″
(
ξ
1
)
+
f
″
(
ξ
2
)
2
=
f
″
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {f''(\xi _{1})+f''(\xi _{2})}{2}}=f''(\xi )}
En découpant l'intervalle
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
n
{\displaystyle n}
[
a
k
,
a
k
+
1
]
{\displaystyle [a_{k},a_{k+1}]}
h
=
b
−
a
n
{\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}
[
a
k
,
a
k
+
1
]
{\displaystyle [a_{k},a_{k+1}]}
a
k
=
a
+
k
h
{\displaystyle a_{k}=a+kh}
k
∈
{
0
,
1
,
2
,
.
.
.
,
n
−
1
}
{\displaystyle k\in \{0,1,2,...,n-1\}}
|
∫
a
k
a
k
+
1
f
(
x
)
d
x
−
h
f
(
a
k
+
h
2
)
|
≤
(
a
k
+
1
−
a
k
)
3
24
M
2
{\displaystyle \left|\int _{a_{k}}^{a_{k+1}}f(x)\,\mathrm {d} x-hf\left(a_{k}+{\frac {h}{2}}\right)\right|\leq {\frac {(a_{k+1}-a_{k})^{3}}{24}}M_{2}}
M
2
=
sup
[
a
,
b
]
|
f
″
|
{\displaystyle M_{2}={\text{sup}}_{[a,b]}|f''|}
En sommant sur
k
{\displaystyle k}
|
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
−
h
∑
k
=
0
n
−
1
f
(
a
k
+
h
2
)
|
=
|
∑
k
=
0
n
−
1
(
∫
a
k
a
k
+
1
f
(
x
)
d
x
−
h
f
(
a
k
+
h
2
)
)
|
≤
∑
k
=
0
n
−
1
|
∫
a
k
a
k
+
1
f
(
x
)
d
x
−
h
f
(
a
k
+
h
2
)
|
≤
∑
k
=
0
n
−
1
(
a
k
+
1
−
a
k
)
3
24
M
2
≤
h
3
24
M
2
∑
k
=
0
n
−
1
1
=
M
2
24
(
b
−
a
n
)
3
n
=
M
2
(
b
−
a
)
3
24
n
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x-h\sum _{k=0}^{n-1}f\left(a_{k}+{\frac {h}{2}}\right)\right|&=\left|\sum _{k=0}^{n-1}\left(\int _{a_{k}}^{a_{k+1}}f(x)\,\mathrm {d} x-hf(a_{k}+{\frac {h}{2}})\right)\right|\\&\leq \sum _{k=0}^{n-1}\left|\int _{a_{k}}^{a_{k+1}}f(x)\,\mathrm {d} x-hf(a_{k}+{\frac {h}{2}})\right|\\&\leq \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(a_{k+1}-a_{k})^{3}}{24}}M_{2}\\&\leq {\frac {h^{3}}{24}}M_{2}\sum _{k=0}^{n-1}1={\frac {M_{2}}{24}}\left({\frac {b-a}{n}}\right)^{3}n={\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}}\end{aligned}}}
L'erreur est deux fois plus petite que celle donnée par la méthode des trapèzes .
Cette méthode est un cas des formules de Newton-Cotes , où le polynôme d'interpolation est de degré
0
{\displaystyle 0}
1
{\displaystyle 1}
![{\displaystyle [a,b]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle \xi \in [a,b]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cc05d1fb45b90e25c99bc6a57473d508d3e9c23)
![{\displaystyle t\in [a,b]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f3050ace6dc0dd95250c418528da28eb477ffe)
![{\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}\in [a,b]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28bf5338175e8878d3e1c1df706932bdf0ddfb8b)
![{\displaystyle [a_{k},a_{k+1}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642244d313b7a719816ecffe1b0412d8728c20ff)
![{\displaystyle M_{2}={\text{sup}}_{[a,b]}|f''|}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb852cc0a7cb9226d142fbf0ebbb281795da8c4b)
