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En géométrie hyperbolique, un horocycle (ou parfois horicycle, du grec moderne : ὅριον + κύκλος — frontière + cercle) est une courbe dont les normales convergent asymptotiquement vers le même point à l'infini. Généralisant certaines propriétés des droites et des cercles euclidiens, les horocycles sont représentés dans le modèle du disque de Poincaré par des cercles tangents au cercle limite.
En géométrie euclidienne, une courbe dont toutes les normales sont parallèles est une droite. En géométrie hyperbolique, on appelle horocycle une courbe dont toutes les normales sont asymptotiquement parallèles, c'est-à-dire qu'elles sont non sécantes, mais que leur distance tend vers 0 à l'infini ; toutes ces normales，appelées rayons de l'horocycle, convergent donc vers le même point à l'infini, le centre de l'horocycle.
Un horocycle peut aussi être défini comme la courbe limite d'une famille de cercles ayant une tangente commune en un point donné, lorsque le rayon de ces cercles tend vers l'infini. Selon le côté de la tangente, on obtient ainsi deux horocycles, ayant pour centres les points à l'infini de la perpendiculaire à la tangente en ce point. De même, on peut obtenir un horocycle comme courbe limite d'hypercycles dont le rayon tend vers l'infini ; à ce sens, il y a une analogie entre horocycles et droites euclidiennes, qui se prolonge en une analogie entre parallèles asymptotes et hyperparallèles, d'une part, et horocycles et hypercycles de l'autre.
Certaines des propriétés ci-dessous sont analogues aux propriétés des cercles et des hypercycles ; à ce sens, horocycles et hypercycles peuvent être vus comme des cercles généralisés du plan hyperbolique.
En prenant comme courbure du plan hyperbolique K = −1[3] :
Dans le modèle du disque de Poincaré, les horocycles sont représentés par des cercles tangents au cercle limite, et leur centre est le point de tangence ; l’ensemble des horocycles ayant un centre commun forme un faisceau de cercles, orthogonal au faisceau des « droites » passant par ce centre. Dans le modèle du demi-plan de Poincaré, les horocycles sont de même représentés par des cercles tangents à la droite limite (l'axe des abscisses), ainsi que par des droite parallèles à cet axe, dont le centre est le point à l'infini de l'axe des ordonnées.
Dans le modèle de l'hyperboloïde, les horocycles sont représentés par les intersections de l'hyperboloïde avec des plans dont les normales appartiennent au cône asymptote.
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