Formule sommatoire d'Abel

En mathématiques, la formule sommatoire d'Abel, nommée d'après son auteur Niels Henrik Abel, est une formule utilisée intensivement en théorie analytique des nombres. Elle sert à calculer des séries numériques.

Énoncé

Soient ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}$ une suite de nombres réels ou complexes et ${\displaystyle \varphi }$ une fonction réelle ou complexe de classe C¹.

On pose

${\displaystyle A(x)=\sum _{1\leq n\leq x}{a_{n}}.}$

Alors, pour tout réel x,

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\varphi (n)=A(x)\varphi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\varphi '(u)\,\mathrm {d} u}$.

Démonstration

Il s'agit d'une intégration par parties dans une intégrale de Stieltjes, mais ce cas particulier peut se démontrer directement.

La fonction A est nulle sur ]–∞, 1[ donc si x < 1, l'équation se résume à 0 = 0.

Supposons désormais x ≥ 1 et notons N ≥ 1 sa partie entière (donc A(x) = A(N)). La formule de sommation par parties donne :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1\leq n\leq x}{a_{n}\varphi (n)}-A(x)\varphi (x)&=A(N)\varphi (N)-\sum _{n=1}^{N-1}A(n){\big (}\varphi (n+1)-\varphi (n){\big )}-A(x)\varphi (x)\\&=-\sum _{n=1}^{N-1}A(n){\big (}\varphi (n+1)-\varphi (n)){\big )}-A(N){\big (}\varphi (x)-\varphi (N){\big )}\\&=-\sum _{n=1}^{N-1}\int _{n}^{n+1}A(u)\varphi '(u)\mathrm {d} u-\int _{N}^{x}A(u)\varphi '(u)\,\mathrm {d} u\\&=-\int _{1}^{x}A(u)\varphi '(u)\mathrm {d} u.\end{aligned}}}$

Exemples

Série des entiers

En utilisant astucieusement la formule, on peut calculer des sommes et retrouver des résultats usuels. Par exemple, pour ${\displaystyle a_{n}=1}$ et ${\displaystyle \varphi (u)=u}$, en prenant x = N entier, on trouve (pour tout réel x ≥ 1, ou même x > 0) : $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1\leq n\leq N}n=\lfloor N\rfloor N-\int _{1}^{N}\lfloor u\rfloor \mathrm {d} u&=N^{2}-\int _{1}^{N}\lfloor u\rfloor \mathrm {d} u=N^{2}-(N-1)\times {\frac {1}{2}}={\frac {N(N+1)}{2}}\\&=N^{2}-\int _{1}^{N}(u-\{u\})\mathrm {d} u=N^{2}-\int _{1}^{N}u\,\mathrm {d} u+\int _{1}^{N}\{u\}\,\mathrm {d} u\\&=N^{2}-{\frac {N^{2}-1}{2}}+(N-1)\times {\frac {1}{2}}\\&={\frac {N(N+1)}{2}}.\end{aligned}}}$$

On reconnait ici la formule des nombres triangulaires.

Constante d'Euler-Mascheroni

Pour ${\displaystyle a_{n}=1}$ et ${\displaystyle \varphi (u)=1/u}$, en notant ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ la partie entière de x, on trouve (pour tout réel x ≥ 1, ou même x > 0) :

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\mathrm {d} u}}$

dont on déduit une expression intégrale de la constante d'Euler-Mascheroni :

${\displaystyle \gamma =1-\int _{1}^{\infty }\ {\frac {x-\lfloor x\rfloor }{x^{2}}}\,{\rm {d}}x}$.

Séries de Dirichlet

Pour toute série de Dirichlet classique

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$,

la formule sommatoire d'Abel, appliquée à ${\displaystyle \varphi (u)=u^{-s}}$, montre que pour tout nombre complexe s de partie réelle strictement supérieure à 0 et à l'abscisse de convergence de la série^[1] :

${\displaystyle f(s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(u)}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u}$.

Ci-dessous, deux exemples. On en trouvera un autre dans l'article « Fonction de von Mangoldt ».

Fonction zêta de Riemann

Pour ${\displaystyle a_{n}=1}$ on obtient :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\,\mathrm {d} u={\frac {s}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\,\mathrm {d} u}$.

Cette formule est valable pour Re(s) > 1. On en déduit notamment le théorème de Dirichlet selon lequel la fonction zêta de Riemann ζ(s) admet un pôle simple de résidu 1 en s = 1.

Inverse de la fonction zêta de Riemann

Pour ${\displaystyle a_{n}=\mu (n)}$ (la fonction de Möbius) :

${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\,\mathrm {d} u}}$.

Cette formule est valable pour Re(s) > 1. Le symbole M désigne la fonction de Mertens, définie par

${\displaystyle M(u)=\sum _{1\leq n\leq u}{\mu (n)}}$.