Formule de Mollweide

En géométrie du triangle, les formules de Mollweide, portant le nom du mathématicien et astronome prussien Carl Brandan Mollweide (de) (1774-1825), sont les identités trigonométriques suivantes ^[1]^,^[2] :

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\quad {\rm {et}}\quad {\frac {a-b}{c}}={\frac {\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}},

où (cf. figure ci-contre) $a$ , $b$ et $c$ désignent les longueurs des côtés d'un triangle ABC et $α$ , $β$ et $γ$ les mesures des angles opposés.

La loi des tangentes en est un corollaire immédiat, compte tenu du fait que $γ / 2$ est complémentaire de $α + β / 2$ (donc le cosinus de l'un est égal au sinus de l'autre).

On utilise la loi des sinus, puis une formule de Simpson au numérateur et une formule de l'angle double au dénominateur :

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {2\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{2\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}},

ce qui prouve la première formule. La seconde se démontre de même.

[1]
(en) Ernest J. Wilczynski, Plane Trigonometry and Applications, Allyn & Bacon, 1914, p. 102.
[2]
(en) Michael Sullivan, Trigonometry, Dellen Publishing Company, 1988, p. 243.

Démonstration