Formalisme de Keldysh

Le formalisme de Keldysh (ou Schwinger-Keldysh) est une technique de perturbation diagrammatique introduite par le physicien russe L. V. Keldysh^[1] pour l'étude des phénomènes hors-équilibre dans le problème à N corps comme par exemple la théorie de la fonctionnelle de la densité dépendante du temps^[2], les équations d'Usadel dans la supraconductivité^[3], la théorie des systèmes quantiques ouverts^[4] et la physique mésoscopique^[5]. Un formalisme similaire a été introduit par Julian Schwinger^[6] et par Leo Kadanoff et Gordon Baym^[7].

Fonctions de Green hors équilibre

Quatre types de fonctions de Green hors équilibre sont introduites (pour des fermions):

${\displaystyle G^{++}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=-i\langle T\psi (x_{1},t_{1})\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{2})\rangle }$

${\displaystyle G^{-+}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=-i\langle \psi (x_{1},t_{1})\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{2})\rangle =G^{>}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})}$

${\displaystyle G^{+-}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=i\langle \psi ^{\dagger }(x_{2},t_{2})\psi (x_{1},t_{1})\rangle =G^{<}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})}$

${\displaystyle G^{--}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=-i\langle {\tilde {T}}\psi (x_{1},t_{1})\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{2})\rangle }$

(où ${\displaystyle \psi ,\psi ^{\dagger }}$ sont des opérateurs de création et d'annihilation, ${\displaystyle T}$ désigne le produit chronologique et ${\displaystyle {\tilde {T}}}$ désigne le produit antichronologique), au lieu d'une seule fonction de Green dans la théorie d'équilibre. Ces quatre fonctions de Green forment une matrice^[3] ${\displaystyle {\hat {G}}}$, qui remplace la fonction de Green scalaire dans les lignes des diagrammes de Feynman. Les observables physiques^[3] comme la densité de particules ${\displaystyle \rho (x,t)}$ ou le courant ${\displaystyle {\vec {j}}(x,t)}$ s'expriment à l'aide de la fonction ${\displaystyle G^{<}}$:

${\displaystyle \rho (x,t)=\lim _{x'\to x \atop t'\to t}-iG^{<}(x,t;x',t')}$

${\displaystyle {\vec {j}}(x,t)=-{\frac {\hbar }{2m}}\lim _{x'\to x \atop t'\to t}\left[\nabla _{x'}G^{<}(x,t;x',t')-\nabla _{x}G^{<}(x,t;x',t')\right]}$

Les termes d'interaction (sommets des diagrammes de Feynman) acquièrent aussi une structure matricielle^[8]. En particulier, un terme d'énergie potentielle est représenté par une matrice 2×2 diagonale avec +1 sur la première ligne et -1 sur la deuxième ligne multipliant le potentiel.

Les fonctions de Green hors équilibre peuvent être obtenues en considérant un contour^[3] ${\displaystyle C=C_{+}\cup C_{-}}$partant de ${\displaystyle -\infty }$ jusqu'à un temps ${\displaystyle T>\max(t_{1},t_{2})}$ puis retournant en ${\displaystyle -\infty }$ et en définissant un produit chronologique ${\displaystyle T_{C}}$ sur ce contour tel que la partie de ${\displaystyle C_{+}=]-\infty +i0_{+},T]}$ se situe avant la partie ${\displaystyle C_{-}=]T,-\infty +i0_{-}]}$. Lorsque ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in C_{+}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ est le produit chronologique, ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in C_{-}}$

${\displaystyle T_{C}}$devient le produit antichronologique. C'est pourquoi on rencontre parfois l'expression^[9] closed-time path formalism (formalisme du contour temporel fermé) utilisée comme synonyme du formalisme de Keldysh.

Fonctions de Green avancées, retardées, et fonction de Keldysh

Les fonctions de Green ${\displaystyle G^{\pm \pm }}$étant linéairement dépendantes ${\displaystyle G^{++}+G^{--}=G^{+-}+G^{-+}}$et il est possible au moyen d'une rotation^[3] de se ramener à la forme:

${\displaystyle {\hat {G}}=\left({\begin{array}{cc}G^{R}&G^{K}\\0&G^{A}\end{array}}\right)}$

où

${\displaystyle G^{R}=G^{++}-G^{+-}=-i\Theta (t_{1}-t_{2})\langle \{\psi (x_{1},t_{1}),\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{1})\}\rangle }$est la fonction de Green retardée, ${\displaystyle \Theta (t)}$ est la fonction de Heaviside,

${\displaystyle G^{A}=G^{++}-G^{-+}=i\Theta (t_{2}-t_{1})\langle \{\psi (x_{1},t_{1}),\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{1})\}\rangle }$est la fonction de Green avancée,

${\displaystyle G^{K}=G^{+-}+G^{-+}=-i\langle [\psi (x_{1},t_{1}),\psi ^{\dagger }(x_{2},t_{1})]\rangle }$ est la fonction de Green de Keldysh qui sert maintenant à exprimer les valeurs moyennes des observables physiques. Dans ces formules le symbole ${\displaystyle \{A,B\}=AB+BA}$ désigne l'anti-commutateur, et ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ le commutateur. Dans cette représentation, les termes d'énergie potentielle sont représentés par une matrice identité multipliant le potentiel.

Équation de Dyson

Comme dans le cas d'équilibre, il est possible de sommer les parties irréductibles de la série donnant la fonction de Green pour obtenir l'équation de Dyson^[3]

${\displaystyle (G_{0}^{-1}-\Sigma ){\hat {G}}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})=\mathrm {Id} \delta (x_{1}-x_{2})\delta (t_{1}-t_{2})}$,

où ${\displaystyle \mathrm {Id} }$ est la matrice identité. L'opérateur self énergie ${\displaystyle \Sigma =\left({\begin{array}{cc}\Sigma ^{R}&\Sigma ^{K}\\0&\Sigma ^{A}\\\end{array}}\right)}$possède la même structure matricielle que la fonction de Green. L'équation de Dyson constitue un point de départ pour l'obtention d'équations cinétiques^[3].

Intégrales fonctionnelles et Formalisme de Keldysh

Ce formalisme peut aussi être décrit en termes d'intégrales de chemin^[10], ce qui permet de le relier à la méthode de Martin-Siggia-Rose pour les systèmes classiques hors d'équilibre.

Notes et références

1. L. V. Keldysh, « Diagram Technique for Nonequilibrium Processes », Journal of Experimental and Theoretical Physics, vol. 20,‎ 1965, p. 1018 (lire en ligne)
2. R. van Leeuwen, N.E. Dahlen, G. Stefanucci et C.-O. Almbladh, « Introduction to the Keldysh Formalism », dans Time-Dependent Density Functional Theory, vol. 706, Springer Berlin Heidelberg, 2006 (ISBN 978-3-540-35422-2, DOI 10.1007/3-540-35426-3_3, lire en ligne), p. 33–59
3. (en) J. Rammer et H. Smith, « Quantum field-theoretical methods in transport theory of metals », Reviews of Modern Physics, vol. 58, n^o 2,‎ 1^er avril 1986, p. 323–359 (ISSN 0034-6861, DOI 10.1103/RevModPhys.58.323, lire en ligne, consulté le 15 janvier 2022)
4. L M Sieberer, M Buchhold et S Diehl, « Keldysh field theory for driven open quantum systems », Reports on Progress in Physics, vol. 79, n^o 9,‎ 1^er septembre 2016, p. 096001 (ISSN 0034-4885 et 1361-6633, DOI 10.1088/0034-4885/79/9/096001, lire en ligne, consulté le 16 janvier 2022)
5. (en) Antti-Pekka Jauho, « NONEQUILIBRIUM GREEN FUNCTION MODELLING OF TRANSPORT IN MESOSCOPIC SYSTEMS », Progress in Nonequilibrium Green's Functions II, WORLD SCIENTIFIC,‎ mai 2003, p. 181–197 (ISBN 978-981-238-271-9, DOI 10.1142/9789812705129_0016, lire en ligne, consulté le 16 janvier 2022)
6. (en) K. A. Milton, Schwinger's Quantum Action Principle : From Dirac's Formulation Through Feynman's Path Integrals, the Schwinger-Keldysh Method, Quantum Field Theory, to Source Theory, Cham, Springer International Publishing, 2015, 116 p. (ISBN 978-3-319-20128-3, 3-319-20128-X et 3-319-20127-1, OCLC 911054478, lire en ligne)
7. (en) Leo Kadanoff et Gordon Baym, Quantum statistical mechanics : green's function methods in equilibrium and nonequilibrium problems, Redwood City, Californie, Addison-Wesley Pub. Co., 1989, 203 p. (ISBN 0-201-09422-3, 978-0-201-09422-0 et 0-201-41046-X, OCLC 18290024, lire en ligne)

   Réimpression de l'ouvrage publié en 1962 par W. A. Benjamin dans la collection Frontiers in Physics.
8. L. D. Landau, E. M. Lifschitz et L. P. Pitaevskii, Cours de Physique Théorique, t. X : Cinétique Physique, Moscou, Mir, 1990 (ISBN 5-03-000648-6), p. 472
9. (en) F. Cooper, B. N. Kursunoglu (dir.), S. Mintz (dir.) et A. Perlmutter (dir.), Unified symmetry : in the small and in the large 2, New York, Plenum Press, coll. « Language of science », 1995 (lire en ligne), « Nonequilibrium problems in quantum field theory and Schwinger's Closed Time Path formalism », p. 11
10. (en) Alex Kamenev et H. Bouchiat, Y. Gefen, S. Guéron, G. Montambaux et J. Dalibard (dir.), Nanophysics : Coherence and Transport, vol. 81, Amsterdam, Elsevier, coll. « École d'été de Physique des Houches », 2005 (ISBN 978-0-444-52054-8, ISSN 0924-8099, lire en ligne), « Many-body theory of non-equilibrium systems », p. 173

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