Fonction implicite

En mathématiques, une équation entre différentes variables où une variable n'est pas explicitée en fonction des autres est appelée une équation implicite. Une fonction implicite est une fonction qui se déduit implicitement d'une telle équation.

Plus précisément si f est une fonction de E × F dans G, où E, F et G sont des espaces vectoriels normés ou plus simplement des intervalles de R, l'équation f(x,y) = 0 définit une fonction implicite si l'on peut exprimer une des variables en fonction de l'autre pour tous les couples (x,y) vérifiant l'équation.

Ou encore, l'équation f(x,y) = 0 définit une fonction implicite de E vers F, s'il existe une fonction φ dite explicite telle que , pour tout (x,y) de E × F, f(x,y) = 0 équivaut à y = φ(x). Cela revient à dire que le graphe de la relation binaire : x R y ssi f(x,y) = 0 est le graphe d'une fonction.

Il est parfois possible de prouver l'existence locale d'une fonction implicite pour une équation touchant deux variables réelles, sans l'exhiber explicitement, les conditions suffisantes d'existence et d'unicité d'une telle fonction sont détaillées dans l'article : théorème des fonctions implicites.

Exemples

• Considérons l'équation ${\displaystyle x^{5}-x^{4}y+y^{3}-x^{2}y^{6}=0}$. Les points de ${\displaystyle {\mathbb {R}}^{2}}$ dont les coordonnées vérifient cette équation forment une courbe ${\displaystyle \Gamma }$ qui passe par le point ${\displaystyle (1,1)}$. Est-ce que ${\displaystyle \Gamma }$ possède une tangente en ce point? Si oui, comment la trouver ? C'est ce genre de problèmes auxquels on s'intéresse^[1],[2],[3].
• L'équation ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2\,(x^{2}-y^{2})}$ est associée à la lemniscate de Bernoulli.

courbe algébrique

• l'équation x² + y² = 1 ne définit pas de fonction implicite pour y quelconque, mais pour y positif, cette équation est équivalente à y = √1 - x² et φ : x → √1 - x² est la fonction explicite associée à l'équation.
• l'équation x² + y² + ln z = 0 permet de définir la fonction implicite φ : (x,y) → exp(-x² - y²).

• L'équation ${\displaystyle y^{5}-4y^{4}+4xy^{2}-x^{2}=0}$ définit ${\displaystyle y}$ comme fonction implicite de ${\displaystyle x}$. On ne sait pas exprimer cette fonction explicitement à l'aide de fonctions élémentaires^[1]. Par contre, on peut exprimer ${\displaystyle x}$ en fonction de ${\displaystyle y}$ : on a ${\displaystyle x=2y^{2}\mp y^{5/2}}$.
• si f est une bijection de E vers F, l'équation y = f(x) induit une fonction implicite de F vers E appelée application réciproque et notée f ⁻¹.

Dérivée d'une fonction implicite

Il est parfois possible et plus simple de dériver une fonction implicite sous sa forme non explicite.

Si f est une fonction numérique de deux variables réelles, continue au voisinage de (x₀ , y₀) et différentiable en (x₀ , y₀), et si la dérivée partielle de f par rapport à la seconde variable est continue et ne s'annule pas en (x₀ , y₀), la dérivée de φ en x₀ est^[4]:

${\displaystyle \varphi '(x_{0})=-{\frac {f_{x}'(x_{0},y_{0})}{f_{y}'(x_{0},y_{0})}}.}$

Cette formule peut s'expliquer^[5] en remarquant que le gradient de f en (x₀ , y₀) a pour coordonnées : ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}~f(x_{0},y_{0})={\begin{pmatrix}f_{x}'(x_{0},y_{0})\\f_{y}'(x_{0},y_{0})\end{pmatrix}}}$

et indique la direction de plus forte variation de f, tandis que le vecteur ${\displaystyle N={\begin{pmatrix}1\\-{\frac {f_{x}'(x_{0},y_{0})}{f_{y}'(x_{0},y_{0})}}\end{pmatrix}}}$ qui lui est normal indique la direction de variation nulle, c'est-à-dire la direction de la tangente à la courbe d'équation f(x,y) = 0.

Exemple^[6],[7] : l'équation x² + y² = 1 est associée à la fonction f : (x,y) → x² + y² - 1 qui est de classe C¹, c'est-à-dire qu'elle est différentiable de différentielle continue. Comme ${\displaystyle f_{x}'(x_{0},y_{0})=2x_{0}}$ et ${\displaystyle f_{y}'(x_{0},y_{0})=2y_{0}}$, pour tout point (x₀ , y₀)${\displaystyle \neq (-1,0),(1,0)}$, on a ${\displaystyle \varphi '(x_{0})=-{\frac {2x_{0}}{2y_{0}}}=-{\frac {x_{0}}{\sqrt {1-x_{0}^{2}}}}.}$

Une telle dérivation peut être utile dans le cas où la fonction est impossible à expliciter

Exemple : L'équation y⁵ + x²y + 2 = 0 est associée à une fonction f de classe C¹. Le graphe de l'équation est celui d'une fonction car, pour tout valeur de x, il existe au plus une valeur de y rendant vraie l'égalité. Comme ${\displaystyle f_{x}'(x_{0},y_{0})=2x_{0}y_{0}}$ et ${\displaystyle f_{y}'(x_{0},y_{0})=5y_{0}^{4}+x_{0}^{2}}$ pour tout point (x₀ , y₀), avec y₀ = φ(x₀), on a ${\displaystyle \varphi '(x_{0})=-{\frac {2x_{0}y_{0}}{5y_{0}^{4}+x_{0}^{2}}}.}$ En particulier, pour x0 = 1 et y0 = –1, φ' (1) = 1/3

Voir aussi

• Équation cartésienne

Notes et références

1. Jacques Dixmier, Cours de mathématiques du premier cycle : Première année : exercices, indications de solutions, réponse, Gauthier-Villars, 1976 (ISBN 2-04-015773-5 et 978-2-04-015773-9, OCLC 22472091), p. 387
2. Michèle Audin, Géométrie, EDP Sciences, 2006 (ISBN 2-86883-883-9 et 978-2-86883-883-4, OCLC 123193688), p. 291
3. Michel Raynaud commence son exposé d'octobre 2016 "Comment la géométrie algébrique s'est "séparée" de la géométrie analytique" à l'Institut de Mathématique d'Orsay par des rappels sur les fonctions implicites.
4. Lelong-Ferrand et Arnaudiès 1977, p. 235
5. Pour une démonstration complète voir tout livre d'analyse post bac, par exemple Lelong-Ferrand et Arnaudiès 1977, p. 236-237 ou Claude Deschamps et André Warusfel, Mathématiques 1^e année PMSI, PCSI, PTSI, Dunod, coll. « J'intègre », 1999, p. 1019-1022.
6. Cet exemple est traité dans (en) E. W. Swokowski, Calculus with Analytic Geometry, Taylor & Francis, 1979 (lire en ligne), p. 121-122.
7. On trouve l'exemple similaire d'un folium de Descartes dans F. Dupont, « Cours de deuxième année deug mass - Les fonctions implicites », sur Université de Brest ou F. Ronga, « Dérivabilité, théorème des fonctions implicites et applications », sur Université de Genève, p. 55.

Bibliographie

• Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques : Analyse, t. 2, Dunod, 1977

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