Fonction d'erreur

En mathématiques, la fonction d'erreur (aussi appelée fonction d'erreur de Gauss) est une fonction entière utilisée en analyse. Cette fonction se note erf et fait partie des fonctions spéciales. Elle est définie par :

Construction de la fonction d'erreur réelle.

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}\mathrm {e} ^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.}$

La fonction erf intervient régulièrement dans le domaine des probabilités et statistiques, ainsi que dans les problèmes de diffusion (de la chaleur ou de la matière).

Intérêt de cette fonction

Probabilités et statistiques

La probabilité pour qu'une variable normale centrée réduite X prenne une valeur dans l'intervalle [–z, z] est :

${\displaystyle \operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)=\mathbb {P} (X\in [-z,z]).}$

La fonction de répartition de X, ou fonction de répartition de la loi normale, usuellement notée Φ, est liée à la fonction d'erreur erf, par la relation :

${\displaystyle \Phi (z)=\int _{-\infty }^{z}{\frac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]=\mathbb {P} (X\leq z),}$

ou bien encore :

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)=2\,\Phi \!\!\left(z{\sqrt {2}}\right)-1.}$

Problèmes de diffusion

La fonction d'erreur intervient dans l'expression des solutions de l'équation de la chaleur ou de l'équation de la diffusion, par exemple quand les conditions initiales sont données par la fonction de Heaviside.

Considérons notamment un demi-espace x ≥ 0 occupé par un solide de diffusivité thermique κ et de température initialement uniforme T₁. Si à l'instant t = 0 sa frontière x = 0 est portée puis maintenue à la température T₂, la température T(x,t) à tout instant t > 0 et en tout point x > 0 est donnée par :

${\displaystyle T(x,t)=T_{2}-(T_{2}-T_{1})\operatorname {erf} \left({\frac {x}{2{\sqrt {\kappa t}}}}\right).}$

Calcul numérique

L'intégrale ne peut être obtenue à partir d'une formule fermée^[1] mais par un développement en série entière (de rayon de convergence infini) intégré termes à termes,

${\displaystyle \quad \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)\times n!}}\,z^{2n+1}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+O(z^{9})\right).}$

Il existe des tables donnant des valeurs des intégrales, comme fonctions de z, mais aujourd'hui, la plupart des logiciels de calcul numérique (tableurs, Scilab) ou de calcul formel (comme Maple ou MuPAD) intègrent une routine de calcul de erf(x) et de sa bijection réciproque, inverf(x), encore plus utile en calcul de probabilités.

Toutefois, les approximations suivantes peuvent être utiles :

• En ${\displaystyle v(0),\quad \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\mathrm {e} ^{-x^{2}}\left(x+{\frac {2}{3}}\,x^{3}+{\frac {4}{15}}\,x^{5}\right)+o(x^{6}\,\mathrm {e} ^{-x^{2}})}$ (avec une erreur inférieure à 6 × 10^–4 pour x < 0,5)
• En ${\displaystyle v(+\infty ),\quad \operatorname {erf} (x)=1-\mathrm {e} ^{-x^{2}}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}.\left({\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2x^{3}}}+{\frac {3}{4x^{5}}}-{\frac {15}{8x^{7}}}\right)+o(x^{-8}\mathrm {e} ^{-x^{2}})}$ (avec une erreur inférieure à 2 × 10^–4 pour x > 1,75)
• Pour ${\displaystyle x>0,\quad {\sqrt {1-\mathrm {e} ^{-x^{2}}}}\leq \operatorname {erf} (x)\leq {\sqrt {1-\mathrm {e} ^{-4x^{2}/\pi }}}}$

(encadrement proposé par J. T. Chu, 1955 ; la borne supérieure approche partout la fonction erf à moins de 7 × 10⁻³ près).

• Pour ${\displaystyle x>0,\quad \operatorname {erf} (x)\simeq 1-\mathrm {e} ^{-1,9x^{1,3}}}$

(approximation proposée par E. Robert, 1996 ; Elle approche partout la fonction erf à moins de 2,2 × 10⁻² près. L'approximation s'améliore pour être inférieure à 10⁻² pour ${\displaystyle x\geq 1}$).

• La fonction ${\displaystyle x\mapsto \operatorname {erf} (x)\times \mathrm {e} ^{x^{2}}}$ est la solution de l'équation différentielle ${\displaystyle y''-2x\,y'-2y=0}$ valant 0 en 0 et de dérivée ${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}}$ en 0.

Extensions

Il arrive que la fonction plus générale ${\displaystyle E_{n}}$ définie par :

${\displaystyle E_{n}(z)=n!\int _{0}^{z}\mathrm {e} ^{-\zeta ^{n}}\,\mathrm {d} \zeta }$

soit utilisée et E₂ est appelée erreur intégrale.

D'autres fonctions d'erreurs utilisées en analyse, notamment :

• La fonction d'erreur complémentaire notée erfc et définie par :

${\displaystyle \operatorname {erfc} (z)=1-\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{z}^{\infty }\mathrm {e} ^{-\zeta ^{2}}\,\mathrm {d} \zeta }$

• La fonction ierfc, (opposée de l') intégrale de la fonction d'erreur complémentaire erfc :

${\displaystyle \operatorname {ierfc} (z)={\frac {\mathrm {e} ^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}-z\cdot \operatorname {erfc} (z)}$

• La fonction d'erreur imaginaire notée erfi est définie par^[2] :

${\displaystyle \operatorname {erfi} (z)={\frac {\operatorname {erf} (\mathrm {i} z)}{\mathrm {i} }}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}\mathrm {e} ^{\zeta ^{2}}\,\mathrm {d} \zeta ={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\mathrm {e} ^{z^{2}}D(z)}$

où D(z) désigne la fonction de Dawson. Elle n'est souvent définie que dans certains logiciels de calcul formel, tels que Mathematica et Maple. Elle peut néanmoins être décrite à l'aide d'un développement en série entière :

${\displaystyle \quad \operatorname {erfi} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)\times n!}}\,z^{2n+1}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+O(z^{9})\right).}$

• La fonction de Faddeeva est définie par :

${\displaystyle w(z):=\mathrm {e} ^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-\mathrm {i} z)=\operatorname {erfcx} (-\mathrm {i} z)=\mathrm {e} ^{-z^{2}}\left(1+{\frac {2\mathrm {i} }{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}\mathrm {e} ^{t^{2}}{\text{d}}t\right).}$

Fonction réciproque

Approximations de la fonction d'erreur réciproque (somme jusqu'à k = K).

La fonction d'erreur réciproque intervient parfois dans des formules statistiques. Elle peut être décrite à l'aide d'un développement en série :

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1}}$

où ${\displaystyle c_{0}=1}$ et

${\displaystyle c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}}$

On obtient le développement suivant :

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right)}$

(le rayon de convergence de cette série valant 1, elle ne donne de bonnes valeurs approchées que pour |z|<1/2 par exemple).

Quelques implémentations

${\displaystyle \operatorname {erf} }$ est présente nativement dans plusieurs langages comme C++ (C++ 2011 Standard)^[3] et Fortran 2008^[4].

Notes et références

1. Voir à ce sujet le théorème de Liouville.
2. (en) Eric W. Weisstein, « Erfi », sur MathWorld.
3. (en) « erf - C++ Reference », sur cplusplus.com (consulté le 24 septembre 2021).
4. « General mathematical functions — Fortran Programming Language », sur fortran-lang.org (consulté le 15 février 2023)

• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), chap. 7

Voir aussi

Articles connexes

• Loi normale
• Intégrale de Fresnel
• Fonction d'erreur complémentaire

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Erf », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Erfi », sur MathWorld
• (en) « Error Functions », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)
• Steven G. Johnson and Joachim Wuttke, libcerf, implementation en C pour argument complexe.

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