Fonction Schur-convexe

En mathématique, une fonction Schur-convexe (ou convexe au sens de Schur), aussi appelée S-convexe, fonction isotone ou fonction préservant l'ordre est une fonction ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$ telle qu'elle conserve les relations d'ordre : pour tout ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$ tels que x est majorée par y, f satisfait f(x) ≤ f(y).

Nommée d'après Issai Schur, les fonctions Schur-convexes sont utilisées dans l'étude de la majorisation. Toute fonction qui est convexe et symétrique est aussi Schur-convexe, mais l'implication inverse n'est pas toujours vraie. Par contre, toute fonction Schur-convexe est symétrique (par rapport aux permutations de ses arguments)^[1].

Fonction Schur-concave

Une fonction f est dite Schur-concave si son opposée, -f, est Schur-convexe.

Critère de Schur-Ostrowski

Si f est symétrique et possède des dérivées partielles, alors f est Schur-convexe si et seulement si pour tout 1 ≤ i ≠ j ≤ d et en tout point de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ :

${\displaystyle (x_{i}-x_{j})\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\geq 0}$^[2].

Exemples

• ${\displaystyle f(x)=\min(x)}$ est Schur-concave et ${\displaystyle f(x)=\max(x)}$ est Schur-convexe (ceci se déduit rapidement de la définition des fonctions).
• La fonction entropie de Shannon ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}}$ est Schur-concave.
• La fonction entropie de Rényi est aussi Schur-concave.
• Assez naturellement, les fonctions ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}}}$ sont toutes Schur-convexes pour k ≥ 1.
• La fonction ${\displaystyle f(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}}$ est Schur-concave, sur le domaine ${\displaystyle (\mathbb {R} _{+})^{d}}$. De même, les fonctions symétriques élémentaires sont Schur-concaves${\displaystyle (\mathbb {R} _{+})^{d}}$.
• Une interprétation naturelle de la majorisation est que si ${\displaystyle x\succ y}$ alors x est plus étalé que y. Il est dès lors naturel de se demander si les mesures statistiques de variabilité sont Schur-convexes. La variance et déviation standard sont toutes les deux des fonctions Schur-convexes mais la valeur absolue des écarts ne l'est pas.
• Si g est une fonction convexe définie sur un intervalle réel, alors ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}g(x_{i})}$ est Schur-convexe.
• Un exemple en probabilité : si ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ sont des variables aléatoires échangeables, alors la fonction espérance ${\displaystyle \mathbb {E} \left(\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}\right)}$ est Schur-convexe comme une fonction du multi-indice ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$, sous réserve que l'espérance existe.
• Le coefficient de Gini est strictement Schur-concave.

Références

1. (en) A. Wayne Roberts et Dale E. Varberg, Convex functions, New York, Academic Press, 1973, 299 p. (ISBN 978-0-08-087372-5, lire en ligne), p. 258.
2. (en) Josip E. Peajcariaac et Y. L. Tong, Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications, Academic Press, 1992, 467 p. (ISBN 978-0-08-092522-6, lire en ligne), p. 333.

Voir aussi

Fonction quasi-convexe

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