Flocon de Koch

La courbe de von Koch ([fɔnˈkɔkː]) est l'une des premières courbes fractales autosimilaires à avoir été publiée dans une revue scientifique, bien avant l'invention du terme « fractal » par Benoît Mandelbrot. Elle a été inventée en 1904 par le mathématicien suédois Helge von Koch^[1].

Elle ne doit pas être confondue avec sa variante plus connue, la courbe du flocon de neige dont l'inventeur semble être le mathématicien Edward Kasner^[2].

Courbe originale de von Koch

Les 4 premières étapes de la construction.

Les 6 premières courbes successives en animation.

On peut la créer à partir d'un segment de droite, en modifiant récursivement chaque segment de droite de la façon suivante :

1. On divise le segment de droite en trois segments de longueurs égales.
2. On construit un triangle équilatéral ayant pour base le segment médian de la première étape.
3. On supprime le segment de droite qui était la base du triangle de la deuxième étape.

Au bout de ces trois étapes, l'objet résultant a une forme similaire à une section transversale d'un chapeau de sorcière.

La courbe de von Koch est la limite (par exemple pour la distance de Hausdorff) des lignes polygonales obtenues lorsqu'on répète indéfiniment les étapes ci-dessus.

Une extension de la notion de dimension permet d'attribuer à la courbe de von Koch une dimension fractale (non entière) dont la valeur est^[3],[4],[5]

${\displaystyle {\frac {\log 4}{\log 3}}\approx 1,26.}$

La courbe de von Koch a une longueur infinie. En effet en supposant que la courbe ait une longueur finie L>0, celle-ci serait supérieure à la longueur de chacune des lignes polygonales obtenues à chaque étape de la construction de la courbe. Or la longueur de ces lignes tend vers l'infini, parce qu'à chaque étape de construction de la courbe, la longueur de la ligne polygonale est multipliée par 4/3>1.

La surface délimitée par la courbe est cependant d'aire finie, car contenue dans le demi-disque dont le diamètre est le segment initial. Si l'on a choisi l'unité d'aire de telle sorte que le triangle construit à la première itération soit d'aire 1, alors l'aire de chacun des quatre triangles construits lors de la seconde itération est 1/9 : on a donc augmenté l'aire totale de 4/9. Pour l'itération ${\displaystyle n}$, on ajoute ${\displaystyle 4^{n}\times \left({\frac {1}{9}}\right)^{n}}$. L'aire totale s'obtient finalement comme somme d'une série géométrique convergente :

${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}=1+{4/9 \over 1-4/9}=1+{\frac {4}{5}}={\frac {9}{5}}}$.

La courbe de von Koch est un exemple particulièrement simple à construire de courbe de Jordan continue mais qui n'admet de tangente en aucun de ses points.

On peut considérer la courbe de von Koch comme l'attracteur d'un système de fonctions itérées, ce qui permet de prouver par exemple que c'est un compact autosimilaire de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$^[6].

Courbe du flocon de neige de von Koch

Création du flocon de Koch

La courbe du flocon de neige de von Koch s'obtient de la même façon que la courbe précédente, mais en partant d'un triangle équilatéral au lieu d'un segment de droite, et en effectuant les modifications en orientant les triangles vers l'extérieur. Pour un triangle initial (étape 0) de périmètre p, le périmètre du flocon à l'étape n est (4/3)ⁿp.

On peut aussi partir d'un hexagone, et opérer en orientant les triangles vers l'intérieur. Dans les deux cas, après quelques itérations on obtient une forme évoquant un flocon de neige.

Comme la courbe originale, la courbe du flocon de neige de von Koch est de longueur infinie, mais elle délimite une surface d'aire finie. Celle-ci est égale aux 8/5 de l'aire du triangle initial en raison de la construction de seulement 3 triangles lors de la première étape^[7].

Il est possible de paver le plan uniquement en utilisant des copies du flocon de neige de von Koch de deux tailles différentes^[8],[9].

Variantes de la courbe de von Koch

Suivant la méthode de von Koch, plusieurs variantes ont été conçues, en considérant des angles droits (quadratique), d'autres angles (fractale de Cesàro) ou des extensions dans les dimensions supérieures (sphereflake, surface de von Koch).

Variante	Illustration	Construction
1D & angle = 85°	Fractale Cesàro.	La fractale Cesàro est une généralisation de la courbe de Koch avec un angle compris entre 60° et 90° (ici 85°).
1D & 90°	Courbe quadratique de Koch (type 1)	Les 2 premières itérations.
1D & 90°	Courbe quadratique de Koch (type 2)	Les deux premières itérations. Sa dimension fractale égale 1,5, soit à mi-chemin entre la dimension 1 et la dimension 2. Cette propriété en fait une courbe très utilisée dans l'étude des propriétés physiques des objets fractals (cf. Sapoval).
2D & triangles	Surface de von Koch	Les 2 premières itérations. Extension naturelle à 2 dimensions de la courbe de von Koch.
2D & 90°	Surface quadratique de Koch (type 1)	Les trois premières étapes.
2D & 90°	Surface quadratique de Koch (type 2)	Les trois premières étapes.
2D & sphères	Sphereflake	Eric Haines a développé la fractale sphereflake (litt. flocon de sphère), extension du flocon de Koch, construite à base de sphères.

Notes et références

1. Helge von Koch, « Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire », Arkiv för matematik, astronomi och fysik, vol. 1,‎ 1904, p. 681-704.
2. (en) Yann Demichel, « Who Invented von Koch’s Snowflake Curve? », The American Mathematical Monthly, vol. 131, n^o 8,‎ 13 septembre 2024, p. 662–668 (ISSN 0002-9890 et 1930-0972, DOI 10.1080/00029890.2024.2363737, arXiv 2308.15093, HAL hal-04188667, lire en ligne)
3. Une démonstration figure dans « Les fractales », Tangente HS, n^o 18, p. 26.
4. (en) Eric W. Weisstein, « Koch Snowflake », sur MathWorld.
5. (en) Chan Wei Ting et al., « Moire patterns + fractals », sur NUS, p. 16.
6. « Courbe de Koch », sur mathcurve.
7. « Nolotv » [PDF]
8. (en) Aidan Burns, « 78.13 Fractal tilings », Mathematical Gazette, vol. 78, n^o 482,‎ 1994, p. 193–196 (DOI 10.2307/3618577, JSTOR 3618577).
9. John Rigby, « 79.51 Tiling the plane with similar polygons of two sizes », Mathematical Gazette, vol. 79, n^o 486,‎ 1995, p. 560–561 (DOI 10.2307/3618091, JSTOR 3618091).

Voir aussi

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• flocon de Koch, sur le Wiktionnaire

Articles connexes

• Courbe remplissant le flocon de Koch
• Liste de fractales par dimension de Hausdorff

Liens externes

• Plus d'informations et d'images (en anglais)
• Programme de construction par étapes, en Delphi
• CPW-Fed KOCH SNOWFLAKE Fractal Antenna for UWB Wireless Applications
• [vidéo] Mickaël Launay, « Les fractales - Micmaths », sur YouTube
• [vidéo] Mickaël Launay, « L'étonnant puzzle fractal de von Koch - Micmaths », sur YouTube

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