Cosinus intégral

La fonction cosinus intégral, notée ${\displaystyle \operatorname {Ci} }$, est définie par l'intégrale :

Cosinus intégral

Tracé de ${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)}$ pour ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 25}$.

Notation	${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)}$
Dérivée	${\displaystyle {\frac {\cos(x)}{x}}}$
Primitives	${\displaystyle x{\rm {Ci}}(x)-\sin(x)+{\text{cte}}}$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	${\displaystyle \mathbb {R} ^{+*}}$
Ensemble image	${\displaystyle \left]-\infty$ ;{\frac {\pi }{2}}\right]}

Valeurs particulières

Valeur en zéro	${\displaystyle \lim _{x\to 0}\operatorname {Ci} (x)=-\infty }$
Limite en +∞	0
Maxima	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

Particularités

Asymptotes	${\displaystyle y=0}$

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${\displaystyle \forall x>0,\ \mathrm {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t}}\,\mathrm {d} t}$ où la fonction ${\displaystyle \cos }$ est la fonction cosinus.

Propriétés

• La fonction est continue, infiniment dérivable sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+*}}$, et ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{+*},\ \mathrm {Ci} '(x)={\frac {\cos(x)}{x}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\mathrm {Ci} (x)=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\mathrm {Ci} (x)=-\infty }$
• La fonction ${\displaystyle \operatorname {Ci} }$ admet le développement suivant sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+*}}$ :${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{+*},\ \mathrm {Ci} (x)=\gamma +\ln(x)+\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!(2n)}}}$ où ${\displaystyle \gamma }$ est la constante d'Euler-Mascheroni. Ce développement permet d'étendre la fonction ${\displaystyle \operatorname {Ci} }$ en une fonction analytique définie sur tout le plan complexe privé de la demi-droite des réels négatifs. La somme de la série vaut également ${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\cos(t)-1}{t}}\,\mathrm {d} t}$.
• Les primitives de Ci sont de la forme :

${\displaystyle \int {\rm {Ci}}(x){\rm {d}}x=x{\rm {Ci}}(x)-\sin(x)+k,k\in \mathbb {R} }$.

Voir aussi

• Exponentielle intégrale
• Logarithme intégral
• Sinus intégral

Bibliographie

• Abramowitz et Stegun, Handbook of Mathematical Functions.
• (en) Eric W. Weisstein, « Cosine Integral », sur MathWorld

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