Logarithme intégral

En mathématiques, la fonction logarithme intégral $li$ est une fonction spéciale définie pour tout nombre réel strictement positif $x \neq 1$ par l'intégrale :

{\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(t)}}.

Cet article est une ébauche concernant l’analyse.

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où $ln$ désigne le logarithme népérien.

La fonction $t\mapsto 1/\ln(t)$ n'est pas définie en $t = 1$ , et l'intégrale pour $x > 1$ doit être interprétée comme la valeur principale de Cauchy : ${\rm {li}}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(t)}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(t)}}\right).$

Quand $x$ tend vers $+\infty$ , on a l'équivalence ${\rm {li}}(x)\sim {x \over \ln(x)},$ c'est-à-dire que $\lim _{x\to +\infty }{\rm {li}}(x)\cdot {\frac {\ln(x)}{x}}=1.$

D'après le théorème des nombres premiers, la fonction de compte des nombres premiers $π(x)$ est équivalente à $x /ln(x)$ , donc à $li(x)$ , qui en fournit par ailleurs une meilleure approximation.

La fonction $li$ est liée à l'exponentielle intégrale $Ei$ par la relation $li(x) = Ei (ln (x))$ pour tout nombre réel strictement positif $x \neq 1$ . Ceci mène aux développements en séries de $li(x)$ , comme : ${\rm {pour}}\;u\neq 0\;,\quad {\rm {li}}(\mathrm {e} ^{u})={\rm {Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!},$ où $γ \approx 0,577$ est la constante d'Euler-Mascheroni.

On en déduit le développement au voisinage de 1 du logarithme intégral : $\mathrm {li} (1+u)=\mathrm {Ei} (\ln(1+u))=\ln |u|+\gamma +{\frac {1}{2}}u+o(u)$ .

La fonction $li$ a une seule racine, elle se trouve en $x \approx 1,451$ ; ce nombre est connu comme étant la constante de Ramanujan-Soldner.

La fonction d'écart logarithmique intégral est une fonction spéciale $Li(x)$ très similaire à la fonction logarithme intégral, définie de la façon suivante :

\mathrm {Li} (x)=\mathrm {li} (x)-\mathrm {li} (2)=\int _{2}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(t)}}

Une valeur approchée de $li(2)$ est 1,045 163 8^[1]^,^[2], alors que $Li(2)$ = 0.

On peut montrer à l'aide d'intégrations par parties successives que, pour tout entier $n$ , on a le développement asymptotique suivant à l'infini de $Li$ (donc aussi de $li$ ) : ${\rm {Li}}(x)={\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}+o\left({\frac {x}{(\ln x)^{n+1}}}\right).$

Pour n = 0, on retrouve l'équivalent ci-dessus.

Comme dit dans la section « Équivalent », le théorème des nombres premiers établit que:

\pi (x)\sim \operatorname {li} (x)

où $\pi (x)$ exprime la quantité de nombres premiers inférieurs à $x$ .

Avec l'hypothèse de Riemann, l'estimation suivante plus forte est possible^[3] :

\operatorname {li} (x)-\pi (x)=O({\sqrt {x}}\log x)

Pour des petits $x$ , $\operatorname {li} (x)>\pi (x)$ , mais on sait, indépendamment de l'hypothèse de Riemann, que cette différence change de signe un nombre infini de fois quand $x$ augmente. La première occurrence devrait survenir^[4] au voisinage de 1,4 × 10³¹⁶.

[1]
Johann Georg von Soldner, Théorie et tables d'une nouvelle fonction transcendante, 1809, p. 48.
[2]
Pour plus de décimales, voir par exemple « li(2) », sur WolframAlpha ou la suite A069284 de l'OEIS.
[3]
Abramowitz and Stegun, p. 230, 5.1.20
[4]
Il est démontré que des changements de signes se produisent avant cette valeur ; aucune démonstration rigoureuse de ce qu'il ne s'en produit pas avant 10³¹⁶ (ni même avant 10²⁰) n'existe, mais on a des estimations heuristiques montrant que cela est très peu probable ((en) Douglas Stoll et Patrick Demichel, « The impact of $\zeta (s)$ complex zeros on $\pi (x)$ for $x<10^{10^{13}}$ », Mathematics of Computation, vol. 80, n^o 276,‎ 2011, p. 2381–2394 (DOI 10.1090/S0025-5718-2011-02477-4 , MR 2813366)).