Corps valué

En mathématiques, un corps valué est un corps K muni d'une valeur absolue ${\displaystyle x\mapsto |x|}$^[1]. Celle-ci détermine sur K une structure d'espace métrique définie par la distance invariante ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$, et K, muni de la topologie métrisable ainsi définie, est un corps topologique.

Par exemple, toute valuation à valeurs réelles sur K permet de définir une valeur absolue sur K (la réciproque n'est vraie que pour les valeurs absolues ultramétriques^[2]). Pour cette raison, certains auteurs^{[Qui ?][réf. souhaitée]} appellent corps valué tout corps muni d'une valuation.

La topologie d'un corps valué est discrète si, et seulement si la valeur absolue est triviale, c'est-à-dire issue de la valuation triviale^[3].

L'anneau complété d'un corps valué est un corps valué^[4].

Démonstration

Soient ${\displaystyle (K,d)}$ un corps muni d'une distance associée à une valuation ${\displaystyle |~|}$ et ${\displaystyle ({\widehat {K}},{\widehat {d}})}$ l'anneau complété. Par prolongement des identités, ${\displaystyle {\widehat {d}}}$ est invariante par translations et l'application ${\displaystyle x\mapsto {\widehat {d}}(x,0)}$ (qui prolonge ${\displaystyle |~|}$) est une valuation sur ${\displaystyle {\widehat {K}}}$. L'application ${\displaystyle K^{*}\to K,\;x\mapsto x^{-1}}$ est ${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}}$-lipschitzienne sur ${\displaystyle \{x\in K\mid |x|\geq \varepsilon \}}$ pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Elle s'étend donc continûment en une application ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ définie sur ${\displaystyle \cup _{\varepsilon >0}\{x\in {\widehat {K}}\mid |x|\geq \varepsilon \}={\widehat {K}}^{*}}$.