Corps valué

En mathématiques, un corps valué est un corps K muni d'une valeur absolue ${\displaystyle x\mapsto |x|}$^[1]. Celle-ci détermine sur K une structure d'espace métrique définie par la distance invariante ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$, et K, muni de la topologie métrisable ainsi définie, est un corps topologique.

Par exemple, toute valuation à valeurs réelles sur K permet de définir une valeur absolue sur K (la réciproque n'est vraie que pour les valeurs absolues ultramétriques^[2]). Pour cette raison, certains auteurs^{[Qui ?][réf. souhaitée]} appellent corps valué tout corps muni d'une valuation.

La topologie d'un corps valué est discrète si, et seulement si la valeur absolue est triviale, c'est-à-dire issue de la valuation triviale^[3].

L'anneau complété d'un corps valué est un corps valué^[4].

Démonstration

Soient ${\displaystyle (K,d)}$ un corps muni d'une distance associée à une valuation ${\displaystyle |~|}$ et ${\displaystyle ({\widehat {K}},{\widehat {d}})}$ l'anneau complété. Par prolongement des identités, ${\displaystyle {\widehat {d}}}$ est invariante par translations et l'application ${\displaystyle x\mapsto {\widehat {d}}(x,0)}$ (qui prolonge ${\displaystyle |~|}$) est une valuation sur ${\displaystyle {\widehat {K}}}$. L'application ${\displaystyle K^{*}\to K,\;x\mapsto x^{-1}}$ est ${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}}$-lipschitzienne sur ${\displaystyle \{x\in K\mid |x|\geq \varepsilon \}}$ pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Elle s'étend donc continûment en une application ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ définie sur ${\displaystyle \cup _{\varepsilon >0}\{x\in {\widehat {K}}\mid |x|\geq \varepsilon \}={\widehat {K}}^{*}}$.

Notes et références

1. Bourbaki, Définition 3.
2. Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions] p. 36, qui mentionne de plus une caractérisation des valeurs absolues non ultramétriques.
3. Remarque : tout espace vectoriel à gauche sur un corps valué discret est un espace vectoriel topologique pour la topologie discrète ; il n'en est pas ainsi pour un espace vectoriel non nul sur un corps valué non discret.
4. Bourbaki, Proposition 7.

Voir aussi

Articles connexes

• Théorème d'Ostrowski

Bibliographie

• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], chap. IX.3 (« Utilisation des nombres réels en topologie générale: Groupes métrisables; corps valués; espaces et algèbres normés »), p. 28-31

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