Conjecture de Manin

En mathématiques, la conjecture de Manin décrit la distribution de points rationnels sur une variété algébrique par rapport à une fonction de hauteur appropriée. Elle a été proposée par Yuri I. Manin et ses collaborateurs^[1] en 1989.

Points rationnels de hauteur bornée hors des 27 droites sur la surface cubique de Clebsch.

Conjecture

Soit ${\displaystyle V}$ une variété de Fano définie sur un corps de nombres ${\displaystyle K}$, soit ${\displaystyle H}$ une fonction de hauteur relative au diviseur anticanonique. Supposons que ${\displaystyle V(K)}$ est Zariski-dense dans ${\displaystyle V}$. Alors il existe un sous-ensemble (Zariski) ouvert non vide ${\displaystyle U\subset V}$ tel que la fonction de comptage de ${\displaystyle K}$-points rationnels de hauteur bornée, définie pour ${\displaystyle B\geq 1}$ :

${\displaystyle N_{U,H}(B)=\#\{x\in U(K):H(x)\leq B\}}$

satisfasse

${\displaystyle N_{U,H}(B)\sim cB(\log B)^{\rho -1},}$

en ${\displaystyle B\to \infty .}$ ${\displaystyle \rho }$ dénote le rang du groupe de Picard de ${\displaystyle V}$ et ${\displaystyle c}$ est une constante positive. Peyre conjecture en 1995 une expression pour cette dernière^[2].

La conjecture de Manin a été démontrée pour des familles particulières de variétés^[3], mais reste ouverte en général.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Manin conjecture » (voir la liste des auteurs).

1. Franke, Manin et Tschinkel, « Rational points of bounded height on Fano varieties », Inventiones Mathematicae, vol. 95, n^o 2,‎ 1989, p. 421–435 (DOI 10.1007/bf01393904, MR 974910, zbMATH 0674.14012)
2. Peyre, « Hauteurs et mesures de Tamagawa sur les variétés de Fano », Duke Mathematical Journal, vol. 79, n^o 1,‎ 1995, p. 101–218 (DOI 10.1215/S0012-7094-95-07904-6, MR 1340296, zbMATH 0901.14025)
3. T. D. Browning, Analytic number theory. A tribute to Gauss and Dirichlet. Proceedings of the Gauss-Dirichlet conference, Göttingen, Germany, June 20–24, 2005, vol. 7, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Clay Mathematics Proceedings », 2007, 39–55 p. (ISBN 978-0-8218-4307-9, MR 2362193, zbMATH 1134.14017), « An overview of Manin's conjecture for del Pezzo surfaces »

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