Conjecture de Manin

En mathématiques, la conjecture de Manin décrit la distribution de points rationnels sur une variété algébrique par rapport à une fonction de hauteur appropriée. Elle a été proposée par Yuri I. Manin et ses collaborateurs^[1] en 1989.

Points rationnels de hauteur bornée hors des 27 droites sur la surface cubique de Clebsch.

Conjecture

Soit ${\displaystyle V}$ une variété de Fano définie sur un corps de nombres ${\displaystyle K}$, soit ${\displaystyle H}$ une fonction de hauteur relative au diviseur anticanonique. Supposons que ${\displaystyle V(K)}$ est Zariski-dense dans ${\displaystyle V}$. Alors il existe un sous-ensemble (Zariski) ouvert non vide ${\displaystyle U\subset V}$ tel que la fonction de comptage de ${\displaystyle K}$-points rationnels de hauteur bornée, définie pour ${\displaystyle B\geq 1}$ :

${\displaystyle N_{U,H}(B)=\#\{x\in U(K):H(x)\leq B\}}$

satisfasse

${\displaystyle N_{U,H}(B)\sim cB(\log B)^{\rho -1},}$

en ${\displaystyle B\to \infty .}$ ${\displaystyle \rho }$ dénote le rang du groupe de Picard de ${\displaystyle V}$ et ${\displaystyle c}$ est une constante positive. Peyre conjecture en 1995 une expression pour cette dernière^[2].

La conjecture de Manin a été démontrée pour des familles particulières de variétés^[3], mais reste ouverte en général.