Cent (musique)

Le cent est une unité d'expression logarithmique des intervalles musicaux, basée sur une échelle logarithmique par rapport à la fréquence fondamentale d'un son musical (voir aussi Logarithmes musicaux).

Dans la théorie des gammes et tempéraments, cette unité permet de calculer avec précision les intervalles propres à un système et de quantifier les différences entre eux. En ethnomusicologie, elle permet de relier les mesures effectuées sur des enregistrements au système de notation de la musique occidentale.

Le cent, préconisé Alexander John Ellis en 1880, est la centième partie du demi-ton tempéré.

Le cent se définit comme le centième du demi-ton tempéré^[1].

Le demi-ton au tempérament égal vaut 100 cents. La gamme chromatique tempérée étant composée de 12 demi-tons identiques, l'octave vaut 1200 cents. Le rapport de fréquence pour une octave étant de 2, on utilise le logarithme binaire ou logarithme de base 2. La racine douzième de 2, soit 2^1/12 , est le rapport de fréquence pour du demi-ton tempéré^[2]. Ainsi la valeur en cents de l'intervalle entre deux sons de fréquences fondamentales ${\displaystyle f_{1}}$ et ${\displaystyle f_{2}}$ est :

${\displaystyle i=1200\times \log _{2}\left({\frac {f_{2}}{f_{1}}}\right)}$

Grâce à la formule générale du changement de base, on peut écrire avec le logarithme décimal log ou le logarithme népérien ln :

$${\displaystyle i=1200\times {\log \left({f_{2} \over f_{1}}\right) \over \log 2}=1200\times {\ln \left({f_{2} \over f_{1}}\right) \over \ln 2}}$$

Un intervalle exprimé en cents se convertit en rapport de fréquences par :

${\displaystyle {f_{2} \over f_{1}}=2^{i \over 1200}}$

Histoire

Au début du XIX^e siècle Gaspard de Prony propose d'exprimer de façon décimale les intervalles en utilisant une graduation « analogue à la nature des quantités soumises au calcul », une échelle logarithmique à base ${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$, dans laquelle l'unité correspond à un demi-ton au tempérament égal^[3].

Alexander John Ellis décrit en 1880 un nombre élevé de diapasons anciens qu'il avait relevés ou calculés. Notant que le baron de Prony avait proposé « le système qui mesure les intervalles en demi-tons égaux et fractions^[a] », il indique l'intervalle en demi-tons avec deux décimales, c'est-à-dire avec une précision au centième de demi-ton, qui les sépare d'un diapason grave théorique, la³ = 370 Hz, pris comme référence^[5]. Ellis publie en 1885 « On the Musical Scales of Various Nations » (Des échelles musicales de différentes nations ), dans lequel il compare les intervalles, exprimés en centièmes de demi-ton, d'échelles musicales décrites par diverses théories musicales non européennes^[6]. La musicologie comparée, qui s'intitule ethnomusicologie depuis le milieu du XX^e siècle, utilise largement cette unité à laquelle Ellis a donné le nom de cent.