Borne de Minkowski

En théorie algébrique des nombres, la borne de Minkowski donne un majorant de la norme des idéaux à considérer pour déterminer le nombre de classes d'un corps de nombres K. Il porte le nom du mathématicien Hermann Minkowski.

Énoncé

Soit D le discriminant de K, n son degré sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, et ${\displaystyle 2r_{2}=n-r_{1}}$ le nombre de plongements complexes où ${\displaystyle r_{1}}$ est le nombre de plongements réels. Alors chaque classe du groupe des classes d'idéaux de K contient un idéal de O_K dont la norme est inférieure ou égale à la borne de Minkowski

${\displaystyle M_{K}={\sqrt {|D|}}\left({\frac {4}{\pi }}\right)^{r_{2}}{\frac {n!}{n^{n}}}.}$

La constante de Minkowski pour le corps K est cette borne M_K^[1].

Propriétés

Puisque le nombre d'idéaux fractionnaire de norme donnée est fini, la finitude du nombre de classes est une conséquence immédiate^[1], et de plus, le groupe des classes est engendré par les idéaux premiers de norme au plus M_K.

La borne de Minkowski peut être utilisée pour déduire un minorant du discriminant de K en fonction de n, r₁ et r₂. Puisque la norme d'un idéal non nul vaut au moins 1, on a 1 ≤ M_K, de sorte que

${\displaystyle {\sqrt {|D|}}\geq \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}{\frac {n^{n}}{n!}}\geq \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}{\frac {n^{n}}{n!}}.}$

Pour n supérieur ou égal à 2, il est facile de montrer que ce minorant est strictement supérieur à 1 ; on obtient donc le théorème de Minkowski, statuant que le discriminant de tout corps de nombres autre que Q est non trivial. Cela implique que le corps des rationnels n'a aucune extension non ramifiée non triviale.