Arithmétiques

Les Arithmétiques (Arithmetica) est une œuvre mathématique en grec due à Diophante d'Alexandrie, qui a eu une grande influence dans l'histoire des mathématiques. Elle aurait été écrite au III^e siècle de notre ère, selon l'hypothèse la plus courante chez les historiens, mais elle est difficile à dater. Elle se présente comme une liste de problèmes résolus, de nature que l'on pourrait qualifier aujourd'hui d'arithmétique ou algébrique : les problèmes se traduisent par des équations polynomiales portant sur des nombres rationnels positifs.

Arithmétiques

Couverture de l'édition de 1621, traduite en latin par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac.

Titre original	(grc) Ἀριθμητικά
Langue	Grec ancien
Auteur	Diophante d'Alexandrie
Genre	Littérature scientifique (en)
Date de parution	IIIe siècle

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Composition

Elle aurait comporté à l'origine 13 livres, dont 10 seulement nous sont parvenus, et seulement six en grec, grâce à des copies byzantines dont la plus ancienne date du XIII^e siècle. Les quatre autres ne sont connus que par une traduction arabe du X^e siècle, grâce à un manuscrit de la toute fin du XII^e siècle, identifié en 1971 par Roshdi Rashed^[1].

Diophante fournit une collection de 130 problèmes d'algèbre donnant les solutions numériques d'équations déterminées (à solution unique) et indéterminées.

Postérité et influences

En référence à Diophante et à ses Arithmétiques, les équations polynomiales sur les nombres entiers sont appelées équations diophantiennes, et l'étude de celles-ci est l'analyse diophantienne.

L'œuvre de Diophante a inspiré Pierre de Fermat qui a proposé son dernier théorème, annoté dans la marge de l'exemplaire en sa possession. Le théorème affirme que lorsque ${\displaystyle n}$ est un entier strictement plus grand que 2, l'équation ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ n'a pas de solutions ${\displaystyle x,y,z}$ entiers non nuls.

Éditions

Référence

1. Houzel 1996.

Voir aussi

Bibliographie

• Isabella Bachmakova, « Diophante et Fermat », Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, t. 19, n^o 4,‎ 1966, p. 289-306 (DOI 10.3406/rhs.1966.2507)
• (en) Isabella Bachmakova (trad. Abe Shenitzer), Diophantus and Diophantine Equations, Washington (D. C), MAA, 1997 (1^re éd. 1972), 90 p. (ISBN 978-0-88385-526-3, BNF 37544030, présentation en ligne) — version mise à jour par Joseph Silverman
• (en) Isabella Bachmakova et Galina Smirnova (trad. Abe Shenitzer), The Beginnings and Evolution of Algebra, MAA, coll. « Dolciani mathematical expositions » (n^o 23), 2000 (1^re éd. 1997), 179 p. (ISBN 978-0-88385-329-0, présentation en ligne) — Le chapitre 3 est reproduit dans I. G. Bashmakova et G. S. Smirnova (trad. Abe Shenitzer), « The Birth of Literal Algebra », The American Mathematical Monthly, vol. 106, n^o 1,‎ janvier 1999, p. 57-66 (DOI 10.2307/2589589)
• Karine Chemla, Régis Morelon et André Allard, « La tradition arabe de Diophante d'Alexandrie : à propos de quatre livres des Arithmétiques perdus en grec retrouvés en arabe », L'antiquité classique, vol. 55, n^o 1,‎ 1986, p. 351-375 (DOI 10.3406/antiq.1986.2193)
• (en) Jean Christianidis, « The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus' method of solution », Historia Mathematica, vol. 34, n^o 3,‎ août 2007, p. 289–305 (DOI 10.1016/j.hm.2006.10.003)
• A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques : Routes et dédales, 1986 [détail des éditions]
• Christian Houzel, « De Diophante à Fermat », Pour la science, n^o 219,‎ 1996, p. 88-96
• (en) Victor J. Katz, A history of mathematics : an introduction, Addison-Wesley, 2009, 3^e éd., 976 p. (ISBN 978-0-321-38700-4)
• (en) Victor J. Katz et Karen Parshall, Taming the Unknown : History of algebra from antiquity to early twentieth century, Princeton University Press, 2014, 504 p. (ISBN 978-0-691-14905-9, présentation en ligne)
• Roshdi Rashed, « Les travaux perdus de Diophante (I) », Revue d'histoire des sciences, vol. 27, n^o 2,‎ 1974, p. 97-122 (DOI 10.3406/rhs.1974.1061)
• Roshdi Rashed, « Les travaux perdus de Diophante (II) », Revue d'histoire des sciences, vol. 28, n^o 1,‎ 1975, p. 3-30 (DOI 10.3406/rhs.1975.1114)
• Roshdi Rashed et Christian Houzel, Les Arithmétiques de Diophante : lecture historique et mathématique, De Gruyter, coll. « Scientia Graeco-Arabica », 2013, 639 p. (ISBN 978-3-11-033593-4, DOI 10.1515/9783110336481, lire en ligne )
• Norbert Schappacher, « Diophante d'Alexandrie : Un texte et son histoire », dans 4000 ans d'histoire des mathématiques : les mathématiques dans la longue durée, Actes du treizième colloque inter-IREM d'Histoire et d'Epistémologie des Mathématiques, IREM de Rennes, 6-7-8 mai 2000, 2002 (ISBN 2-85728-059-9, lire en ligne), p. 15-39
• Jacques Sesiano, Une introduction à l'histoire de l'algèbre : résolution des équations des Mésopotamiens à la Renaissance, Lausanne, Presses polytechniques et universitaires romandes, 1999, 168 p. (ISBN 978-2-88074-394-9, BNF 37077194) — trad. (en) Jacques Sesiano (trad. Anna Pierrehumbert), An Introduction to the History of Algebra : Solving Equations from Mesopotamian Times to the Renaissance, American Mathematical Society, 2009, 174 p. (ISBN 978-0-8218-4473-1)
• André Weil, « Sur les origines de la géométrie algébrique », Compositio Mathematica, t. 44, n^os 1-3,‎ 1981, p. 395-406 (lire en ligne)
• (en) André Weil, Number Theory : An approach through history from Hammurapi to Legendre [détail des éditions]

Articles connexes

• Hypatie

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Liens externes

• (la) Guilielmus Xylander, « Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum, libri sex… », sur gallica, 1575

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