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une fractale obtenue à partir d’un triangle par une infinité de répétitions consistant à diviser par deux la taille du triangle puis à les accoler en trois exemplaires par leurs sommets pour former un nouveau triangle De Wikipédia, l'encyclopédie libre
Le triangle de Sierpiński, ou tamis de Sierpiński, également appelé par Mandelbrot le joint de culasse de Sierpiński[1], est une fractale, du nom de Wacław Sierpiński qui l'a décrit en 1915[2].
Il peut s'obtenir à partir d'un triangle « plein », par une infinité de répétitions consistant à diviser par deux la taille du triangle puis à les accoler en trois exemplaires par leurs sommets pour former un nouveau triangle. À chaque répétition le triangle est donc de même taille, mais « de moins en moins plein ».
Un algorithme pour obtenir des approximations arbitrairement proches du triangle de Sierpiński peut s'écrire de la manière récurrente suivante :
La fractale s'obtient après un nombre infini d'itérations. À chaque étape, l'aire de l'ensemble diminue, elle est multipliée par 3/4.
Le triangle de Sierpiński est l'attracteur du système de fonctions itérées {ha, hb, hc} des trois homothéties de rapport 1/2 centrées aux sommets a, b et c. Au passage, la théorie des systèmes de fonctions itérées garantit a posteriori l'existence du triangle de Sierpiński.
On applique le jeu du chaos.
Si l'on inscrit le triangle de Pascal dans une trame triangulaire, la réunion des cellules contenant des termes impairs est un triangle de Sierpiński.
Remarque : cela revient à construire un triangle de Pascal dans
On obtient un triangle de Sierpiński en appliquant un automate de Wolfram, la règle 126, inspiré du jeu de la vie de Conway[3]. Cela permet par exemple d'expliquer en partie les motifs de la coquille du Conus textile.
On peut obtenir un triangle de Sierpiński à l'aide d'un L-Système comme celui-ci [4]:
Triangle_de_Sierpinski
{
angle 120
axiom X
X=XF+XF+XF+
F=FF
}
Voici le résultat sur 3 générations :
Le triangle de Sierpiński a une dimension fractale ou une dimension de Hausdorff égale à log 3/log 2, soit environ 1,585. En effet, le triangle de Sierpiński est la réunion de trois copies de lui-même, chacune étant réduite d'un facteur 1/2.
Le triangle de Sierpiński est utilisé comme logo ou symbole. Le logo de l'école des Ponts ParisTech représente un triangle de Sierpiński au bout de la deuxième itération.
La Triforce, symbole majeur de la saga vidéoludique The Legend of Zelda, représente quant à elle la première itération du triangle de Sierpiński.
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