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théorème en géométrie euclidienne plane De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En géométrie euclidienne plane, plus précisément dans la géométrie du cercle, les théorèmes de l'angle inscrit et de l'angle au centre établissent des relations liant les angles inscrits[1] et les angles au centre interceptant un même arc.
Il existe deux versions de ces théorèmes, une concernant les angles géométriques et l'autre les angles orientés.
Théorème[2] — Soit M un point d'un cercle Γ, de centre O, A et B sont deux points du cercle distincts de M. Si les angles AMB et AOB interceptent le même arc AB alors : .
Il existe deux situations, l'une où l'angle inscrit de sommet M est aigu, donc l'angle au centre de sommet O saillant (figure 1), l'autre où l'angle inscrit de sommet M est obtus, donc l'angle au centre de sommet O rentrant (figure 2).
Dans la figure 1 on voit aussi que le diamètre dont une extrémité est le sommet de l'angle inscrit peut être intérieur à l'angle au centre comme avec le point N ou extérieur comme avec le point M[3].
Le cas d'un angle inscrit dans un demi-cercle est le cas particulier pour lequel l'angle au centre est un angle plat, et donc l'angle inscrit est un angle droit.
L'énoncé et la démonstration de la propriété sont beaucoup plus simples avec des angles orientés.
Théorème[5] — Soient A, B et M trois points distincts, et Γ un cercle de centre O passant par A et B. Le point M appartient à Γ si et seulement si : .
Corollaire — Deux angles inscrits dans un cercle et interceptant le même arc sont de même mesure.
Cette propriété est une conséquence immédiate[2] du théorème de l'angle au centre ci-dessus.
Complément — Deux angles inscrits dans un cercle interceptant des arcs de cercle complémentaires[6] sont supplémentaires.
Les angles inscrits interceptent deux arcs complémentaires si leurs sommets sont de part et d'autre de la corde associée aux deux arcs.
La propriété énoncée est encore une conséquence directe du théorème de l'angle au centre. Lorsque les arcs sont complémentaires, la somme des angles au centre donne un angle plein. Comme les angles inscrits valent moitié des angles au centre, la somme des angles inscrits donne un angle plat.
Ce théorème est à la base de la notion de cercle de focalisation, ou cercle de Rowland, en spectrométrie.
La propriété des angles inscrits se généralise aux angles que fait la corde qui sous-tend l'arc avec une tangente :
L'angle inscrit a même mesure que l'angle formé par la corde, qui joint les extrémités de l'arc, avec la partie de la tangente au cercle à l'une des extrémités de la corde, située à l'opposé de l'angle en question par rapport à la corde.
L'angle inscrit a même mesure que celle d'un des deux angles formés par la tangente (TT') au cercle en A avec la corde [AB] :
L'angle inscrit est de même mesure que l'angle de la corde [BA] avec la tangente [AT).
est la position limite de l'angle inscrit lorsque M « tend » vers A.
Pour les angles orientés, la propriété devient une caractérisation du cercle passant par les points A, M et B.
Théorème — Si est le cercle circonscrit à un triangle non plat AMB alors pour tout point N distinct de A et B, on a
On remarquera que l'égalité n'est vraie qu'à π près, ce qui explique que les angles géométriques puissent être supplémentaires.
Théorème de l'angle entre deux cordes sécantes : l'angle entre deux cordes sécantes est égal à la moyenne des angles au centre interceptés ; avec les notations de la figure :.
Démonstration :
D'après le théorème de l'angle inscrit, et , et d'après la propriété des angles du triangle (ou ) , ; or et d'où le résultat.
On en déduit que si les cordes sont perpendiculaires, on a la relation entre longueurs d'arcs : , relation connue d'Archimède [7].
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