Théorème de Fueter-Pólya

Le théorème de Fueter-Pólya, prouvé en 1923 par Rudolf Fueter et George Pólya, énonce que les seules bijections quadratiques de ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (l'ensemble des entiers naturels) sont les deux polynômes de Cantor.

Histoire

En 1873, Cantor démontra^[1] que le produit de deux ensembles dénombrables est dénombrable, en exhibant la fonction polynomiale

${\displaystyle P(x,y):=x+{\frac {(x+y+1)(x+y)}{2}}}$,

qui réalise une bijection de ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {N} }$, appelée fonction de couplage de Cantor. En intervertissant les deux variables, on obtient donc aussi une bijection (${\displaystyle Q(x,y)=P(y,x):=y+{\frac {(x+y+1)(x+y)}{2}}}$).

En 1923, Fueter chercha à déterminer s'il existe d'autres polynômes quadratiques vérifiant cette propriété, et prouva qu'il n'en existe pas d'autre si l'on impose ${\displaystyle P(0,0)=0}$. Il envoya sa démonstration à Pólya, qui montra que le théorème ne nécessite pas cette dernière contrainte, et conjectura que même la restriction sur le degré est inutile. Ils publièrent cet échange épistolaire^[2]. Leur preuve est étonnamment analytique et difficile, utilisant le théorème de Lindemann-Weierstrass^[3].

En 2001, Maxim Vsemirnov a publié^[4] une démonstration élémentaire du théorème de Fueter-Pólya, utilisant seulement la loi de réciprocité quadratique de Gauss et le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet^[5].

Énoncé

Si un polynôme réel quadratique à deux variables se restreint en une bijection de ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {N} }$, alors il s'agit nécessairement de

${\displaystyle P(x,y):=x+{\frac {(x+y+1)(x+y)}{2}}}$

ou de ${\displaystyle P(y,x)}$.

Dimensions supérieures

Le polynôme de Cantor peut être généralisé en un polynôme de degré n, bijectif de ℕⁿ dans ℕ pour n ≥ 2, somme de coefficients binomiaux^[6] :

${\displaystyle P_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}+{\binom {x_{1}+x_{2}+1}{2}}+\cdots +{\binom {x_{1}+\cdots +x_{n}+n-1}{n}}}$.

On conjecture^[7] que pour tout n ≥ 2, les n! fonctions polynomiales déduites de P_n par permutation des variables sont les seules bijections polynomiales de degré n de ℕⁿ dans ℕ, et qu'il n'y a qu'un nombre fini de bijections polynomiales de degré quelconque de ℕⁿ dans ℕ, peut-être même seulement celles déduites des P_k pour k ≤ n.

Notes et références

1. (de) G. Cantor, « Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre », J. reine angew. Math., vol. 84,‎ 1878, p. 242-258 (lire en ligne) (le polynôme présenté ici est une adaptation de celui de Cantor (p. 257), qui ne considérait pas ${\displaystyle \mathbb {N} }$ mais ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$).
2. (de) Rudolf Fueter et Georg Pólya, « Rationale Abzählung der Gitterpunkte », Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Zürich, vol. 58,‎ 1923, p. 280-386 (lire en ligne).
3. (en) Craig Smoryński, Logical Number Theory I, Springer, 1991 (lire en ligne), chap. I.4 et I.5 (« The Fueter–Pólya Theorem »), p. 23-43.
4. (en) M. A. Vsemirnov, « Two elementary proofs of the Fueter–Pólya theorem on pairing polynomials », Algebra i Analiz, vol. 13, n^o 5,‎ 2001, p. 1-15 (lire en ligne). Errata : ibid., vol. 14 , n^o 5, 2002, p. 240.
5. (en) Melvyn B. Nathanson, « Cantor polynomials and the Fueter-Polya theorem », 2015 (arXiv 1512.08261).
6. (en) Paromita Chowla, « On some Polynomials which represent every natural number exactly once », Norske Vid. Selsk. Forh. Trondheim, vol. 34, 1961, p. 8-9.
7. Smoryński1991, chap. I.4, conjectures 4.2 à 4.4.

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