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Pour les articles homonymes, voir Dandelin.
En mathématiques, le théorème de Dandelin, ou théorème de Dandelin-Quetelet ou théorème belge sur la section conique, est un théorème portant sur les coniques.
Le théorème de Dandelin énonce que, si une ellipse ou une hyperbole est obtenue comme section conique d'un cône de révolution par un plan, alors :
Apollonius, déjà au IIIe siècle av. J.-C., définit les coniques comme étant les formes obtenues en glissant un plan au travers d’un cône dans tous les angles possibles. On peut alors obtenir un cercle, une ellipse, une hyperbole ou une parabole. Il leur découvre également des propriétés focales et en définit l'excentricité, mais on a malheureusement perdu les traces de ses œuvres à ce sujet.
Alors que les propriétés des coniques semblaient bien connues, le mathématicien belge Germinal Pierre Dandelin découvrit en 1822 son théorème, qui donne une manière particulièrement élégante de relier la définition des coniques par foyer et directrice avec la définition par section conique.
Une ellipse peut être définie de trois façons :
Soit P un point quelconque de la section conique. Soient également G1 et G2 les deux sphères qui sont tangentes au cône et au plan sécant. Leurs intersections avec le cône forment deux cercles nommés respectivement k1 et k2, et avec le plan deux points nommés F1 et F2. Les intersections de la génératrice du cône passant par P avec k1 et k2 sont nommées P1 et P2. Comme PP1=PF1 et PP2=PF2 (car deux tangentes à une même sphère se coupent en un point situé à distance égale des deux pieds des tangentes), PF1 + PF2 = P1P2. Or, la distance entre P1 et P2 est constante, quel que soit P. En d’autres termes, pour tout point P, PF1+ PF2 est constant ; et donc, la section conique comprenant P est une ellipse bifocale de foyers F1 et F2.
Pour le deuxième point du théorème, on considère l’intersection entre le plan de la section et celui du petit cercle k1. Il s'agit de montrer qu’il s’agit de la directrice. On projette maintenant P sur le plan du petit cercle, ce nouveau point est nommé P’. Le projeté du même point P sur la supposée directrice est appelé D. On constate alors que tous les triangles PP’P1 sont semblables, quel que soit le point P. Ainsi, le rapport entre PP’ et PP1(=PF1) est toujours constant. On constate également que les triangles PP’D sont semblables, ce qui veut dire que le rapport entre PP’ et PD est une autre constante. Ainsi le rapport DP/PF1 est une constante, ce qui correspond à la première définition de l'ellipse.
Alors que, pour une ellipse, les deux sphères sont dans la même nappe du cône, dans le cas de l'hyperbole, les deux sphères sont dans les deux nappes opposées.
Dans le cas d'une parabole, il n'existe qu'une seule sphère, tangente au plan de la parabole en son unique foyer. La directrice est l'intersection du plan de la parabole avec le plan contenant le cercle de tangence de la sphère et du cône.
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