Théorème de factorisation

En mathématiques, le théorème de factorisation est un principe général qui permet de construire un morphisme d'une structure quotient ${\displaystyle X/R}$ dans un autre espace ${\displaystyle Y}$ à partir d'un morphisme de ${\displaystyle X}$ vers ${\displaystyle Y}$, de façon à factoriser ce dernier par la surjection canonique de passage au quotient.

Diagramme commutatif représentant les morphismes du théorème de factorisation

Le cas des ensembles

Soit ${\displaystyle X}$ un ensemble muni d'une relation d'équivalence ${\displaystyle R}$ et ${\displaystyle s:X\to X/R}$ la surjection canonique.

Théorème —  Soit ${\displaystyle f:X\to Y}$ une application telle que (pour toute paire d'éléments x, x' dans X)

${\displaystyle xRx'\Rightarrow f(x)=f(x')}$.

Alors, il existe une unique application

${\displaystyle g:X/R\to Y{\text{ telle que }}f=g\circ s}$.

De plus :

• ${\displaystyle g}$ est injective si et seulement si, réciproquement, ${\displaystyle f(x)=f(x')\Rightarrow xRx'}$ (et donc si ${\displaystyle f(x)=f(x')\Leftrightarrow xRx'}$) ;
• ${\displaystyle g}$ est surjective si et seulement si ${\displaystyle f}$ est surjective ;
• ${\displaystyle g}$ est bijective si ${\displaystyle f}$ est surjective et si ${\displaystyle xRx'\Longleftrightarrow f(x)=f(x')}$.

Démonstration

• L'unicité de g est immédiate et guide la preuve de son existence, dont voici plusieurs variantes :
  • Preuve « naïve » : pour tout élément ${\displaystyle z=s(x)\in X/R}$, on pose ${\displaystyle g(z)=f(x)}$. Si ${\displaystyle z=s(x')}$ pour un élément ${\displaystyle x'}$ équivalent à ${\displaystyle x}$, on a ${\displaystyle f(x)=f(x')}$ par hypothèse. Donc ${\displaystyle g}$ est bien définie. Par construction, f = g∘s.
  • Formalisation de la preuve « naïve », rendant plus manifeste l'utilisation de l'axiome du choix : soit t une section de s (c'est-à-dire une application qui à chaque classe associe un élément de cette classe). On pose g = f∘t. Alors, pour tout élément x de X, (t∘s)(x) R x donc f((t∘s)(x)) = f(x), c'est-à-dire (g∘s)(x) = f(x) ; on a donc bien f = g∘s^[1].
  • Preuve sans axiome du choix : par hypothèse, f envoie tous les éléments d'une classe z sur un même élément y de Y. L'assignation z ↦ y définit alors l'application g qui convient^[2].
  • Formalisation de la preuve sans axiome du choix : en notant F et S les graphes de f et s, la relation binaire G = F ∘ S⁻¹ (définie par : zGy s'il existe un x tel que z = s(x) et f(x) = y) est fonctionnelle et définit l'application g qui convient.
• Si f est surjective, l'égalité f = g∘s implique que g est aussi surjective.
• Supposons que ${\displaystyle xRx'}$ est équivalent à ${\displaystyle f(x)=f(x')}$. Soient ${\displaystyle z_{1}=s(x_{1}),z_{2}=s(x_{2})}$ tels que ${\displaystyle g(z_{1})=g(z_{2})}$. Alors ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}$, donc ${\displaystyle x_{1}Rx_{2}}$ et ${\displaystyle z_{1}=s(x_{1})=s(x_{2})=z_{2}}$. Ce qui veut dire que ${\displaystyle g}$ est injective.
• La dernière propriété résulte des deux précédentes.

(La réciproque est moins utile mais immédiate : pour toute application g : X/R → Y, la composée f = g∘s vérifie x R x' ⇒ f(x) = f(x').)

Ce théorème peut se spécialiser à un certain nombre de structures algébriques ou topologiques.

Le cas des groupes

Sur un groupe ${\displaystyle G}$, on considère la relation d'équivalence définie par un sous-groupe normal ${\displaystyle H}$ de ${\displaystyle G}$ : ${\displaystyle xRx'}$ si ${\displaystyle x\in x'H}$. Alors, la surjection canonique ${\displaystyle s:G\to G/H=G/R}$ est un morphisme de groupes et le théorème de factorisation s'énonce

Théorème —  Soit ${\displaystyle f:G\to K}$ un morphisme de groupes. Si ${\displaystyle H}$ est contenu dans le noyau de ${\displaystyle f}$, alors il existe un unique morphisme de groupes ${\displaystyle g:G/H\to K}$ tel que ${\displaystyle f=g\circ s}$. De plus :

• ${\displaystyle g}$ est surjectif si ${\displaystyle f}$ est surjectif ;
• ${\displaystyle g}$ est injectif si on a ${\displaystyle H=\ker f}$ ;
• ${\displaystyle g}$ est un isomorphisme si ${\displaystyle f}$ est surjectif et ${\displaystyle H=\ker f}$.

Démonstration

L'existence de ${\displaystyle g}$ est assurée par le théorème général plus haut. Le fait que ${\displaystyle g}$ soit un morphisme de groupes vient du fait que ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle s}$ sont des morphismes de groupes.

Si ${\displaystyle H=\ker f}$, alors ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}$ si et seulement si ${\displaystyle x_{1}x_{2}^{-1}\in \ker f=H}$. Cette dernière condition équivaut à ${\displaystyle x_{1}Rx_{2}}$. D'après le théorème général, ${\displaystyle g}$ est injective.

Le cas des espaces vectoriels

On considère un espace vectoriel ${\displaystyle E}$ et la relation d'équivalence définie par un sous-espace vectoriel ${\displaystyle H}$ : ${\displaystyle xRx'}$ si ${\displaystyle x-x'\in H}$. Alors, la surjection canonique ${\displaystyle s:E\to E/H=E/R}$ est linéaire.

Théorème —  Soit ${\displaystyle f:E\to F}$ une application linéaire. Si ${\displaystyle H}$ est contenu dans le noyau de ${\displaystyle f}$, alors il existe une unique application linéaire ${\displaystyle g:E/H\to F}$ telle que ${\displaystyle f=g\circ s}$. De plus :

• ${\displaystyle g}$ est surjective si ${\displaystyle f}$ est surjective ;
• ${\displaystyle g}$ est injective si on a ${\displaystyle H=\ker f}$ ;
• ${\displaystyle g}$ est un isomorphisme si ${\displaystyle f}$ est surjective et ${\displaystyle H=\ker f}$.

Le cas des anneaux

On considère un anneau ${\displaystyle A}$ et la relation d'équivalence définie par un idéal bilatère ${\displaystyle I}$ de ${\displaystyle A}$ : ${\displaystyle xRx'}$ si ${\displaystyle x-x'\in I}$. Alors, la surjection canonique ${\displaystyle s:A\to A/I=A/R}$ est un morphisme d'anneaux.

Théorème —  Soit ${\displaystyle f:A\to B}$ un morphisme d'anneaux. Si ${\displaystyle I}$ est contenu dans le noyau de ${\displaystyle f}$, alors il existe un unique morphisme d'anneaux ${\displaystyle g:A/I\to B}$ tel que ${\displaystyle f=g\circ s}$. De plus :

• ${\displaystyle g}$ est surjectif si ${\displaystyle f}$ est surjectif ;
• ${\displaystyle g}$ est injectif si on a ${\displaystyle I=\ker f}$ ;
• ${\displaystyle g}$ est un isomorphisme si ${\displaystyle f}$ est surjectif et ${\displaystyle I=\ker f}$.

Le cas des espaces topologiques

Soit ${\displaystyle X}$ un espace topologique muni d'une relation d'équivalence ${\displaystyle R}$ et ${\displaystyle s:X\to X/R}$ la surjection canonique. On munit ${\displaystyle X/R}$ de la topologie quotient. Soit ${\displaystyle f:X\to Y}$ une application continue.

Théorème —  Si pour tout couple ${\displaystyle xRx'}$ dans ${\displaystyle X}$, on a ${\displaystyle f(x)=f(x')}$, alors il existe une unique application continue ${\displaystyle g:X/R\to Y}$ telle que ${\displaystyle f=g\circ s}$. De plus :

• ${\displaystyle g}$ est surjective si ${\displaystyle f}$ est surjective ;
• ${\displaystyle g}$ est injective si on a ${\displaystyle xRx'}$ équivalent à ${\displaystyle f(x)=f(x')}$ ;
• ${\displaystyle g}$ est ouverte (resp. fermée) si ${\displaystyle f}$ est ouverte (resp. fermée) ;
• ${\displaystyle g}$ est un homéomorphisme si ${\displaystyle f}$ est surjective et ouverte ou fermée, et si ${\displaystyle xRx'\Longleftrightarrow f(x)=f(x')}$.

Démonstration

La continuité de ${\displaystyle g}$ résulte immédiatement des propriétés générales de la topologie quotient. Pour toute partie ${\displaystyle F}$ de ${\displaystyle X/R}$, on a ${\displaystyle g(F)=f(s^{-1}(F))}$, cela implique la propriété sur les applications ouvertes ou fermées.

Références

1. N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Théorie des ensembles [détail des éditions], p. II-44, C57, renvoyant à p. II-20 sur Google Livres, proposition 9.a.
2. Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algèbre [détail des éditions], p. 35 de l'éd. de 1999 en anglais sur Google Livres.

Article connexe

Magma quotient

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