Système dynamique
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En mathématiques, en chimie ou en physique, un système dynamique est un système et dont l'évolution dans le temps est décrite par une loi. Ce peut être l'évolution d'une réaction chimique au cours du temps, le mouvement des planètes dans le système solaire (régi par la loi universelle de la gravitation de Newton) ou encore l'évolution de la mémoire d'un ordinateur sous l'action d'un programme informatique. Formellement on distingue les systèmes dynamiques à temps discret (comme un programme informatique) des systèmes dynamiques à temps continu (comme une réaction chimique).
Un système dynamique est causal, c’est-à-dire que son avenir ne dépend que de phénomènes du passé ou du présent. Il peut être :
- déterministe, c’est-à-dire qu'à une « condition initiale » donnée à l'instant « présent » va correspondre à chaque instant ultérieur un et un seul état « futur » possible. Par exemple les systèmes modélisés par des équations différentielles ordinaires dont l'existence et l'unicité des solutions est vérifiée.
- stochastique, si son évolution est régit par une loi de probabilité. C'est le cas des systèmes décrits par des équations différentielles stochastiques.
Bien que les deux termes soient souvent opposés, il existe des systèmes à la fois non stochastiques et non déterministes[1],[2],[3],[4],[5]. Pour ces systèmes, une « condition initiale » donnée à l'instant « présent » donne à chaque instant ultérieur un ensemble d'états « futurs » possibles sans qu'aucune notion d'aléatoire ne soit pour autant mise en jeu. C'est le cas des systèmes modélisés par certaines équation différentielles ordinaires ne respectant pas le théorème de Cauchy-Lipschitz (le dôme de Norton en est un exemple en mécanique newtonienne[6],[7]), ou encore des systèmes modélisés par des inclusions différentielles.
Les systèmes déterministes pour lesquels on peut également décrire un état passé à partir d'un état présent et de son futur sont appelés système dynamique réversible. Mathématiquement, un système dynamique réversible est un cas particulier d'action de groupe (le groupe étant celui des entiers relatifs Z dans le cas discret et l'ensemble des nombres réels R dans le cas continu)[réf. nécessaire].