La suite de Piatetski-Shapiro d'ordre , où est un nombre réel, est la suite d'entiers
.
Un nombre de la forme est appelé un nombre de Piatetski-Shapiro par Joël Rivat dans sa thèse[1].
Ilya Piatetski-Shapiro a étudié à plusieurs reprises, et pour la première fois en 1953[2], le nombre de nombres premiers parmi les éléments d'une suite de Piatetski-Shapiro. On note
le nombre d'entiers inférieurs à tels que est premier, soit formellement
Piatetski-Shapiro a montré[2] que cette équivalence était vraie pour , puis la majoration a été progressivement améliorée[1]:
1972: Kolesnik:
Graham et Leitmann, indépendamment (non publié):
1983: Heath-Brown:
1985: Kolesnik :
1990: Liu et Rivat (indépendamment) :
1992: Rivat:
2001: Rivat et Sargos: .
2001: Rivat et Wu: .
La complexité d'un mot infini sur un alphabet fini est la fonction qui donne le nombre de facteur de chaque longueur dans .
La complexité arithmétique d'un mot infini selon la suite de Piatetski-Shapiro
est la complexité du mot obtenu en ne conservant que les termes d'indice .
Parmi les études dans ce cadre, il y a l'article de Deshouillers, Drmota, Müllner, Shubin et Spiegelhofer[3] qui considère la complexité arithmétique d'un mot automatique synchronisant. Un cas particulier est la suite dont ils montrent que la complexité arithmétique est polynomiale.
[1983]: David Rodney Heath-Brown, «The Pjateckiĭ-S̆apiro prime number theorem», Journal of Number Theory, vol.16, no2, , p.242–266 (DOI10.1016/0022-314X(83)90044-6, lire en ligne)
[2001]: Joël Rivat et Patrick Sargos, «Nombres premiers de la forme », Canadian Journal of Mathematics, vol.53, no2, , p.414–433 (DOI10.4153/CJM-2001-017-0, lire en ligne)
Joël Rivat et András Sárközy, «A Sequence Analog of the Piatetski-Shapiro Problem», Acta Mathematica Hungarica, vol.74, no3, , p.245–260 (DOI10.1023/A:1006516018759)
Jean-Marc Deshouillers, «Répartition des nombres premiers de la forme », Mémoires de la Société mathématique de France, no37, , p.49–52 (DOI10.24033/msmf.125, lire en ligne)
Victor Zhenyu Guo et Jinyun Qi, «A Generalization of Piatetski–Shapiro Sequences», Taiwanese Journal of Mathematics, vol.26, no1, (DOI10.11650/tjm/210802, lire en ligne)