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trajectoire d'un point soumis à une force centrale inversement proportionnel à la distance De Wikipédia, l'encyclopédie libre
Les spirales de Cotes forment une famille de courbes planes dont beaucoup sont des spirales étudiées par le mathématicien et physicien Roger Cotes quand il s'est intéressé au mouvement à force centrale inversement proportionnelle au cube de la distance.
Éliminant implicitement les cas triviaux du cercle et du mouvement rectiligne, Cotes distingue 5 types de trajectoires[1]:
Il signale que Newton a, quant à lui, déjà évoqué les cas 1 et 5, dans ses Principia[2], livre 1, section VIII, proposition XLI [3],[4].
Puisque le mouvement est à force centrale, il est plan et vérifie la loi des aires.
En coordonnées polaires, cela se traduit par où h est constant.
La force étant inversement proportionnelle au cube du rayon, il existe une constante μ telle que c'est-à-dire
Si h est nul, l'angle θ est constant et le mouvement est donc rectiligne.
Dans le cas contraire, est non nul. Le principe[5] consiste alors à déterminer l'expression de u = 1/r en fonction de θ en remplaçant par hu² et en dérivant deux fois par rapport à θ . On obtient une équation différentielle linéaire d'ordre deux, homogène, dont les solutions dépendent du signe de . En posant , on distingue trois cas :
La conservation de l'énergie totale (énergie cinétique plus énergie potentielle) permet d'exprimer r2 comme fonction du second degré en t [6]. On peut montrer ainsi que dans le cas où et pour un mouvement non circulaire, le déplacement se fait dans un temps borné inférieurement, ou borné supérieurement ou, dans le cas d'une trajectoire de Poinsot bornée, dans un temps fini.
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