Représentation duale

En algèbre, si ρ est une représentation de groupe ou une représentation d'algèbre de Lie sur un espace vectoriel V, on définit sa représentation duale ou représentation contragrédiente ρ* sur le dual V* de V.

• Si ρ est une représentation d'un groupe G, alors ρ* est la représentation de G définie par^[1] :pour tout élément g de G, ρ*(g) est la transposée de ρ(g^-1).
• Si ρ est une représentation d'une algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, alors ρ* est la représentation de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ définie par^[2] :pour tout élément u de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ρ*(u) est la transposée de - ρ(u).

Pour une représentation unitaire, la représentation duale est équivalente à la représentation conjuguée.

Généralisations

• À partir de deux représentations (ρ₁,V₁) et (ρ₂,V₂) d'un groupe G, on définit une représentation Hom(ρ₁,ρ₂)=ρ de G sur Hom(V₁,V₂) en posant^[3] :pour tout élément g de G et tout élément f de Hom(V₁,V₂), ρ(g)(f)=ρ₂(g)∘f∘ρ₁(g^-1).
• Un module sur un anneau (vu comme représentation de cet anneau sur un groupe abélien) n'a pas de représentation duale en général, mais un module sur une algèbre de Hopf en a une.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dual representation » (voir la liste des auteurs).

1. (en) William Fulton et Joe Harris, Representation Theory : A First Course [détail des éditions], p. 4
2. Fulton Harris, p. 111
3. A. Chambert-Loir, Introduction aux groupes et algèbres de Lie, cours de master 2 à l'université de Rennes 1 (2004-2005), p. 21

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