Racine carrée fonctionnelle

En mathématiques, une racine carrée fonctionnelle est une racine carrée d'une fonction vis-à-vis de l'opération de composition de fonctions. Autrement dit, une racine carrée fonctionnelle d'une fonction g est une fonction f satisfaisant f(f(x)) = g(x) pour tout x.

Itérations de la fonction sinus (bleu), dans la première demi-période. Demi-itération (orange), c'est-à-dire la racine carrée fonctionnelle du sinus ; la racine carrée fonctionnelle de celle-ci, le quart d'itération (noir) au-dessus ; et quatre itérations intégrales au-dessous, en commençant par la deuxième itération (rouge). Le triangle enveloppe vert représente l'itération limite nulle, la fonction en dents de scie servant de point de départ à la fonction sinus. Tiré du site Web de pédagogie générale.

Notation

Des notations possibles pour indiquer que f est une racine carrée fonctionnelle de g sont f = g_[1/2] et f = g_1/2.

Historique

• La racine carrée fonctionnelle de la fonction exponentielle, maintenant appelée fonction demi-exponentielle, a été étudiée par Hellmuth Kneser en 1950^[1].
• Les solutions de f(f(x)) = x sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (c'est-à-dire les involutions des nombres réels) ont d'abord été étudiées par Charles Babbage en 1815 et ce problème porte le nom d'équation fonctionnelle de Babbage^[2]. Une solution particulière est f(x) = (b − x)/(1 + cx) pour bc ≠ −1^[3]. Babbage remarqua que pour une solution f donnée, sa conjuguée topologique Ψ⁻¹ ∘ f ∘ Ψ par une fonction inversible quelconque Ψ est encore une solution. En d'autres mots, le groupe de toutes les fonctions inversibles sur les réels agit sur le sous-groupe des solutions de l'équation fonctionnelle de Babbage par conjugaison.

Solutions

Un procédé pour produire des racines n-ièmes fonctionnelles pour des n quelconques est basé sur l'utilisation de l'équation de Schröder^[4],[5],[6].

Exemples

• f(x) = 2x² est une racine carrée fonctionnelle de g(x) = 8x⁴.
• Une racine carrée fonctionnelle du n-ème polynôme de Tchebychev, g(x) = T_n(x), est f(x) = cos(√n arccos(x)), qui en général n'est pas elle-même un polynôme.
• f(x) = x/(√2 + x(1 − √2)) est une racine carrée fonctionnelle de g(x) = x/(2 − x).

Voir aussi

• Racine carrée d'une matrice
• Fonction itérée
• Équation de Schröder
• Analyse fractionnaire

Notes et références

1. (de) H. Kneser, « Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ(φ(x)) = e^x und verwandter Funktionalgleichungen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 187,‎ 1950, p. 56–67 (lire en ligne)
2. (en) Jeremy Gray (dir.) et Karen Parshall (dir.), Episodes in the History of Modern Algebra (1800–1950), Providence (R.I.), American Mathematical Society, 2007, 336 p. (ISBN 978-0-8218-4343-7)
3. Plus rigoureusement, c'est une solution sur ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$, avec ${\displaystyle f(-1/c)=\infty }$ et ${\displaystyle f(\infty )=-1/c}$.
4. (de) E. Schröder, « Ueber iterirte Functionen », Mathematische Annalen, vol. 3, n^o 2,‎ 1870, p. 296–322 (DOI 10.1007/BF01443992)
5. (en) G. Szekeres, « Regular iteration of real and complex functions », Acta Mathematica, vol. 100, n^os 3–4,‎ 1958, p. 361–376 (DOI 10.1007/BF02559539)
6. (en) T. Curtright, C. Zachos et X. Jin, « Approximate solutions of functional equations », Journal of Physics A, vol. 44, n^o 40,‎ 2011, p. 405205 (DOI 10.1088/1751-8113/44/40/405205, Bibcode 2011JPhA...44N5205C, arXiv 1105.3664)

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