Puissance d'un nombre

En algèbre, une puissance d'un nombre est le résultat de la multiplication répétée de ce nombre avec lui-même. Elle est souvent notée en assortissant le nombre d'un entier, typographié en exposant, qui indique le nombre de fois qu'apparaît le nombre comme facteur dans cette multiplication.

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n\ \mathrm {facteurs} }}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}a^{0}=1\\a^{1}=a\\a^{2}=a\times a\\a^{3}=a\times a\times a\end{array}}}$

Premières puissances d'un nombre a.

Elle se lit « puissance n-ième de a », « a puissance n » ou « a exposant n ». L'entier n est appelé exposant.

En particulier, le carré et le cube sont des puissances d'exposant 2 et 3 respectivement.

Tout nombre est égal à sa propre puissance d'exposant 1, tandis que toute puissance d'exposant nul vaut 1 par convention.

2^3 = 8

Codage d'une puissance.

Pour chaque exposant, la puissance définit donc une opération, dont la notation est prioritaire sur les autres symboles d'opérations algébriques élémentaires. L'opération binaire associée est l'exponentiation, qui se note parfois à l'aide du symbole « ^ », notamment sur les calculatrices. On trouve aussi le symbole ** dans certains langages de programmation (par exemple Python ou Ada)

${\displaystyle {\begin{array}{l}x^{-3}={\dfrac {1}{x^{3}}}\\x^{1/2}={\sqrt {x}}\end{array}}}$

Puissance d'exposant négatif ou rationnel.

Lorsqu'un nombre possède un inverse, il est possible de définir ses puissances d'exposant négatif comme les puissances de cet inverse. Sous certaines conditions, il est même possible de définir des puissances d'exposant rationnel comme 1/2, qui correspond à la racine carrée pour les réels positifs. La fonction exponentielle permet ensuite d'étendre cette définition aux exposants réels ou complexes.

Les opérations algébriques sur les puissances d'un nombre ou de plusieurs possèdent des propriétés particulières. Les puissances de dix, comme 10⁻⁵, sont d'une utilisation régulière dans les autres sciences, notamment en physique et en chimie.

Puissance d'exposant entier positif

Définition

On considère un nombre a quelconque et un entier naturel n non nul. La puissance n-ième de a, notée aⁿ et lue « a puissance n »^[1], ou « a exposant n » est le produit de n facteurs tous égaux à a :

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n{\text{ facteurs}} \atop n-1{\text{ signes }}\times }\,.}$

Quand n = 1 (un seul facteur) :

${\displaystyle a^{1}=a\,.}$

Le nombre n est appelé l'exposant de la puissance aⁿ.

Le nombre n est un entier naturel (donc positif) et aⁿ est une puissance à exposant entier positif de a.

Cas particuliers

• on appelle a² la puissance carrée ou le carré de a ;
• on appelle a³ la puissance cubique ou le cube de a.
• quel que soit l'entier naturel n non nul, 0ⁿ = 0 et 1ⁿ = 1 (ces nombres sont idempotents).

Premières propriétés

Par définition de la puissance n-ième, et en utilisant les propriétés de la multiplication, il vient que :

• ${\displaystyle a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}}$ ;
• ${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\times {n}}=a^{n\times {m}}=(a^{n})^{m}}$ ;
• ${\displaystyle (a\times {b})^{n}=a^{n}\times {b^{n}}}$.

Puissance d'exposant nul

La première des propriétés ci-dessus conduit à une généralisation naturelle de la puissance d'un nombre réel non nul à l'exposant 0 :

${\displaystyle a^{0}=1\,.}$

En effet, on a bien alors que : ${\displaystyle a^{m}\times a^{0}=a^{m}\times 1=a^{m+0}\,.}$

Le cas ${\displaystyle a=0}$ est moins clair. Une convention possible est de poser ${\displaystyle 0^{0}=1}$. Elle est cohérente avec les propriétés algébriques énoncées ci-dessus, et a d'autres justifications (voir l'article détaillé).

Cependant, l'application ${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{y}=\exp(y\ln(x))}$, bien définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}\times \mathbb {R} }$, n'admet pas de prolongement par continuité en (0, 0), ce qui interdit le choix d'une convention acceptable en toute généralité. Néanmoins des conventions sont possibles, limitées à des domaines bien définis^[2].

Puissance d'exposant entier négatif

On considère maintenant un nombre a non nul et un entier naturel n non nul. Par définition de la puissance n-ième et en notant 1/a l'inverse de a :

• ${\displaystyle a^{n}\times {1 \over a}=a^{n-1}}$ pour ${\displaystyle n\geq 1}$ ;
• ${\displaystyle a^{n}\times \left({1 \over a}\right)^{2}=a^{n-2}}$ pour ${\displaystyle n\geq 2}$ ;
• etc.

En particulier :

${\displaystyle a^{n}\times \left({1 \over a}\right)^{n}=1=a^{0}=a^{n-n}}$

Il est donc naturel de définir le nombre a^–n, lu « a puissance moins n », ou « a exposant moins n », comme la puissance n-ième de l'inverse de a qui est aussi l'inverse de la puissance n-ième de a :

${\displaystyle a^{-n}=\left({\dfrac {1}{a}}\right)^{n}={\dfrac {1}{a^{n}}}.}$

En particulier, a^–1 = 1/a.

Le nombre –n est l'exposant de la puissance a^–n, étant négatif, a^–n est une puissance de a à exposant négatif.

La puissance n-ième d'un nombre non nul se généralise donc à n'importe quel exposant entier relatif.

On déduit de la définition d'une puissance négative que pour tout exposant entier relatif r :

${\displaystyle a^{-r}=\left({\dfrac {1}{a}}\right)^{r}={\dfrac {1}{a^{r}}}.}$

En particulier pour un entier naturel n :

${\displaystyle a^{n}={\dfrac {1}{a^{-n}}}\,.}$

Signe de l'exposant entier et signe du nombre

La puissance n-ième d'un nombre positif est toujours positive. Le signe de la puissance n-ième d'un nombre réel négatif dépend de la parité de l'exposant entier relatif n.

• une puissance paire d'un nombre réel négatif est un nombre positif : si n est un entier relatif pair, et a un réel positif alors (–a)ⁿ = aⁿ ;
• une puissance impaire d'un nombre réel négatif est un nombre négatif : si n est un entier relatif impair, et a un réel positif alors (–a)ⁿ = –aⁿ.

Exemples

• (–2)³, puissance cubique de –2, vaut (–2)×(–2)×(–2) = –8 < 0.
• 3^–4, l'inverse de la puissance quatrième de 3, vaut

${\displaystyle {\dfrac {1}{3^{4}}}={\dfrac {1}{3\times 3\times 3\times 3}}={\dfrac {1}{81}}>0}$.

Remarque.

Par convention sur les priorités des opérations, –aⁿ = –(aⁿ) : la puissance s'applique à a uniquement. Pour élever –a à la puissance n, il est nécessaire de parenthéser en écrivant (–a)ⁿ :

• ${\displaystyle (-a)^{n}=(-a)\times (-a)\times (-a)\times \dots \times (-a)\,;}$
• ${\displaystyle -a^{n}=-(a\times a\times a\times \dots \times a)\,.}$

Opérations algébriques sur les puissances entières

Pour tous nombres a et b et pour tous entiers relatifs m et n :

• ${\displaystyle a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}}$ ;
• ${\displaystyle {\dfrac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}{\text{ si }}a\neq 0}$ ;
• ${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\times {n}}=a^{n\times {m}}=(a^{n})^{m}}$ ;
• ${\displaystyle (a\times {b})^{n}=a^{n}\times {b^{n}}}$ ;
• ${\displaystyle \left({\dfrac {a}{b}}\right)^{n}={\dfrac {a^{n}}{b^{n}}}{\text{ si }}b\neq 0}$.

Ces formules sont cohérentes entre elles et avec la convention « a⁰ = 1 pour tout nombre réel a ≠ 0 ». Par exemple, pour tout entier naturel n ≠ 0 et pour tout réel a ≠ 0, ${\displaystyle a^{0}=a^{n-n}={\dfrac {a^{n}}{a^{n}}}=1.}$ Certaines identités remarquables comme la factorisation de aⁿ – bⁿ ou la Formule du binôme de Newton associent puissance et addition ou soustraction.

En général ${\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{(n^{m})}}$ ; de ce fait, l'écriture ${\displaystyle a^{n^{m}}}$est ambiguë et, bien qu'il existe une convention qui favorise la désambiguïsation ${\displaystyle a^{n^{m}}=a^{(n^{m})}}$, celle-ci devrait être évitée sans parenthésage univoque^{[3][source insuffisante]}.

Puissances de dix

Les puissances de 10 sont des cas particuliers de puissance. Leur intérêt réside dans le fait que le système de numération le plus couramment utilisé est décimal. Les propriétés énoncées sur les puissances de a restent valables pour les puissances de 10.

Table des puissances de dix

Puissance de dix négatives ou nulle	Préfixe		Puissance de dix positives ou nulle	Préfixe
100 = 1	-		100 = 1	-
10−1 = 0,1	d (déci-)		101 = 10	da (déca-)
10–2 = 0,01	c (centi-)		102 = 100	h (hecto-)
10–3 = 0,001	m (milli-)		103 = 1 000	k (kilo-)
10–4 = 0,0001			104 = 10 000	ma (myria-)[4]
10–5 = 0,00001	-		105 = 100 000	-
10–6 = 0,000001	µ (micro-)		106 = 1 000 000	M (méga-)
etc.	etc.		etc.	etc.

Le nombre 10 élevé à une puissance entière positive n est un chiffre 1 suivi de n zéros.

Le nombre 10 élevé à une puissance entière négative –n est un 1 placé à la n-ième position dans un nombre décimal, c.-à-d. précédé de n zéros en comptant celui avant la virgule.

On utilise fréquemment les puissances multiples de 3, qui correspondent aux préfixes du Système international d'unités :

Table des puissances de dix multiples de trois

Puissance de dix négatives	Préfixe SI		Puissance de dix positives	Préfixe SI
10–3 = 0,001 un millième	m (milli-)		103 = 1 000 mille	k (kilo-)
10–6 = 0,000001 un millionième	µ (micro-)		106 = 1 000 000 un million	M (méga-)
10–9 = 0,000000001 un milliardième	n (nano-)		109 = 1 000 000 000 un milliard	G (giga-)
10–12 = 0,000000000001 un millième de milliardième	p (pico-)		1012 = 1 000 000 000 000 mille milliards	T (téra-)
etc.	etc.		etc.	etc.

Si la virgule signale la position des unités dans l'écriture d'un nombre décimal, multiplier par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la droite et diviser par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la gauche. Donc multiplier par 10ⁿ pour tout entier positif n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la droite ; diviser par 10ⁿ pour tout entier positif n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la gauche. Ainsi,

• 325,72 × 10 = 3 257,2
• 325,72/10 = 32,572
• 325,72 × 10⁵ = 32 572 000
• 325,72/10⁵ = 0,0032572

L'utilisation des puissances de 10 intervient :

• dans l'écriture explicite en base 10 :

325,72 = 3·10² + 2·10¹ + 5·10⁰ + 7·10⁻¹ + 2·10^–2 ;

• dans l'écriture scientifique des nombres décimaux :

325,72 est noté 3,2572 × 10²

où le nombre est écrit comme le produit d'un nombre, appelé mantisse, compris entre 1 et 10 (strictement inférieur à 10), avec une puissance entière de 10 appelée exposant ;

• et dans la notation ingénieur :

325,72 est noté 325,72

32 572 est noté 32,572 × 10³

où le nombre est écrit comme produit d'un nombre compris entre 1 et 999 compris, avec une puissance de 10 dont l'exposant est un multiple de 3.

Les puissances de 10 sont également utiles dans la recherche, ou la vérification, d'ordres de grandeur. Ainsi, par exemple, 29967/274 est de l'ordre de grandeur de 100^[5], car le numérateur est proche de 3 × 10⁴ et le dénominateur proche de 3 × 10², donc leur rapport est de l'ordre de 3 × 10⁴/ 3 × 10²=100.

Généralisation aux puissances à exposant réel

On peut aussi élever un nombre a strictement positif à une puissance à exposant réel quelconque.

Pour cela, on peut définir successivement :

• d'abord des puissances fractionnaires simples : a^1/n = ⁿ√a, où n est un entier, qui coïncident avec les racines n-ièmes pour tout a > 0. Voir racine carrée, racine cubique et racine d'un nombre ;
• puis des puissances fractionnaires composées : a^p/q = (a^1/q)^p = (a^p)^1/q ;
• et enfin, par continuité, des puissances à exposant réel quelconque : a^x peut ainsi être défini pour tout x réel et tout a > 0.

Pour un nombre a > 0 donné, la fonction ${\displaystyle x\mapsto a^{x}}$ ainsi obtenue est appelée fonction exponentielle de base a. Elle peut s'exprimer à l'aide des seules fonctions logarithme népérien et exponentielle :

${\displaystyle a^{x}=\exp(x\ln(a))}$

Ces puissances fractionnaires et réelles répondent aux mêmes règles que les puissances entières. Notamment, pour tous a > 0, b et c réels quelconques :

• ${\displaystyle a^{b}\times a^{c}=a^{b+c}~;}$
• ${\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{b\times c}.}$

On a en particulier :

• ${\displaystyle a^{-1/b}={\dfrac {1}{\sqrt[{b}]{a}}}}$ pour tout entier b non nul ;
• ${\displaystyle {\sqrt[{c}]{a^{b}}}=\left({\sqrt[{c}]{a}}\right)^{b}=a^{b/c}}$ si c est entier non nul ;
• ${\displaystyle (a^{b})^{1/b}=(a^{1/b})^{b}={\sqrt[{b}]{a^{b}}}=\left({\sqrt[{b}]{a}}\right)^{b}=a^{b/b}=a}$ si b est entier non nul.

De même, ${\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{(n^{m})}}$, sauf pour des cas très particuliers suivants :

• Si a, n ou m est nul et les deux autres sont tous deux non nuls.
• Si m=1 et a et b ne sont pas tous deux nuls
• Si aucun des cas ci-dessus : ${\displaystyle \forall a>0,\forall m>0,n=\exp \left({\frac {\ln m}{m-1}}\right)}$

Exemple

Soit à trouver l'aire S d'un cube de volume V. En notant a la longueur d'un arête, on a : ${\displaystyle \left(S=6a^{2}\quad {\text{et}}\quad V=a^{3}\right)\Rightarrow S=6V^{2/3}}$.

Notes et références

1. Voir, par exemple, ce document d'Eduscol sur la présentation des puissances en cycle 4, chap. Introduire les puissances de dix.
2. Jean Jacquelin, « Zéro puissance zéro », Quadrature, vol. 66,‎ octobre 2007, p. 34-36 (lire en ligne).
3. « Images des mathématiques », sur images.math.cnrs.fr (consulté le 28 août 2024)
4. TILF
5. Précisément : 29967/274 = 109,368...

Voir aussi

• Gogolplex
• Exponentielle 
• Notation des puissances itérées de Knuth

• Arithmétique et théorie des nombres