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Un processus convexe est une multifonction dont le graphe est un cône convexe pointé. Un processus convexe étend la notion d'application linéaire (dont le graphe est un sous-espace vectoriel), puisqu'un processus convexe univoque est une application linéaire. On peut lui associer une norme.
Cette notion a été introduite par Rockafellar (1967[1] et 1970[2]). Elle intervient, par exemple, dans la généralisation du théorème des fonctions implicites aux multifonctions.
Connaissances supposées : les bases de l'analyse multifonctionnelle et de l'analyse convexe.
Soient et deux espaces vectoriels réels. Un processus convexe est une multifonction dont le graphe est un cône convexe pointé[2] (il s'agit donc d'une multifonction convexe particulière). Il revient au même de dire (et il sera parfois plus simple de vérifier) qu'un processus convexe est une multifonction qui satisfait aux propriétés suivantes :
On dit qu'un processus convexe est fermé si son graphe est fermé dans l'espace produit
Rappelons quelques notions liées à une multifonction qui nous serons utiles.
Voici un exemple instructif de processus convexe : , et est défini en par
où et sont des applications linéaires. On voit que le processus convexe réciproque a pour valeur en :
Dès lors, donne l'ensemble des solutions d'un certain système d'inégalités linéaires, dont une partie des inégalités est perturbée par le vecteur .
Pour un processus convexe , on a[2]
On suppose dans cette section que et sont des espaces normés.
On peut définir la norme d'un processus convexe par[3]
Contrairement aux applications linéaires, la norme d'un processus convexe entre espaces de dimension finie n'est pas nécessairement finie, même s'il est fermé. Par exemple[3], la multifonction définie en par
est un processus convexe fermé et son application réciproque prend en la valeur
Cependant , car si , avec , on a
Norme finie[3] — Soit un processus convexe. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes:
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