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plus petit polynôme unitaire annulant un élément algébrique De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En mathématiques, le polynôme minimal d'un élément u d'une algèbre associative unifère sur un corps commutatif est, s'il existe, le « plus petit » polynôme unitaire (non nul) P à coefficients dans ce corps tel que P(u) = 0, c'est-à-dire de degré minimum parmi ceux qui annulent u, et également diviseur de tous les polynômes qui annulent u.
Très souvent, on introduit directement le polynôme minimal dans des cas un peu plus particuliers :
Soit A une algèbre associative unifère sur un corps commutatif K et u un élément de A. Un polynôme P à coefficients dans K tel que P(u) = 0, est appelé polynôme annulateur de u. Les polynômes annulateurs de u forment un idéal de K[X] appelé idéal annulateur de u, et la sous-algèbre K[u] [1] de A est isomorphe au quotient de K[X] par cet idéal.
Deux cas de figure sont possibles :
Le polynôme minimal de u (sur K), quand il existe — c'est-à-dire quand K[u] est de dimension finie — est donc, de façon équivalente :
Une condition suffisante d'existence du polynôme minimal de u est que la K-algèbre A soit de dimension finie (puisqu'alors, il en est de même, a fortiori, de la sous-algèbre K[u]).
Dans l'algèbre de dimension finie des matrices carrées n×n sur un corps K, un élément M a toujours un polynôme minimal, qui est le polynôme unitaire P de plus petit degré tel que P(M) = 0. De même, tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie possède un polynôme minimal[2].
Soit L une extension d'un corps commutatif K — L est donc une K-algèbre unifère — et x un élément de L.
En théorie des corps, le polynôme minimal d'un élément algébrique sur K est toujours irréductible sur K. C'est le seul polynôme unitaire irréductible annulateur de l'élément.
On trouve la définition du polynôme minimal d'un élément algébrique dans le cas général des algèbres (associatives) sur un corps dans Bourbaki, Algèbre, p A-V.15 et Algèbre commutative, V, 1, 3, p. 14. D'autres ouvrages généralistes se contentent de donner séparément les définitions en algèbre linéaire en dimension finie et en théorie des corps : Godement, Cours d'algèbre, partie exercices, ou Lang, Algebra, avec dans ce dernier cas une terminologie distincte en théorie des corps où Lang définit « le polynôme irréductible d'un élément α sur un corps K », qu'il note Irr(α, K, X).
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