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Point fixe
concept mathématique / De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
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Pour l’article homonyme, voir Point fixe (aéronautique).
En mathématiques, pour une application d'un ensemble E dans lui-même, un élément
de E est un point fixe de
si
.
Exemples :
- dans le plan, la symétrie par rapport à un point A admet un unique point fixe : A ;
- l'application inverse (définie sur l'ensemble des réels non nuls) admet deux points fixes : –1 et 1, solutions de l'équation
équivalente à l'équation
.
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Graphiquement, les points fixes d'une fonction (d'une variable réelle, à valeurs réelles) sont les points d'intersection de la droite d'équation
avec la courbe d'équation
.
Toutes les fonctions n'ont pas nécessairement de point fixe ; par exemple, la fonction x ↦ x + 1 n'en possède pas, car il n'existe aucun nombre réel x égal à x + 1.
Pour une fonction f définie sur E et à valeurs dans , un point fixe est un élément x de E tel que
, comme dans le théorème du point fixe de Kakutani.