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En géométrie le concept de plan affine a été inventé pour pouvoir parler de droites parallèles sans s'encombrer de notions métriques telles que la distance entre deux points ou l'angle entre deux droites. L'approche axiomatique ne présuppose pas la notion d'espace vectoriel, de plan vectoriel en l'occurrence, ni celle de corps commutatif. Cependant ces deux dernières notions sont sous-jacentes (voir plan affine de Desargues).
Un plan affine vérifie les axiomes
Le parallélisme simple entre deux droites est une relation d'équivalence (réflexive, symétrique, transitive). Le parallélisme strict ne l'est pas, il manque la réflexivité. L'ensemble-quotient des droites par la relation de parallélisme-simple s'appelle l'ensemble des directions du plan affine.
Définition affine du parallélogramme : un parallélogramme général est la figure formée par deux paires de droites simplement parallèles.
Soient deux points P et P', distincts ou confondus.
Définition. La translation selon P et P' est la transformation qui transforme le point M en M' tel que les paires de droites {(PP')(MM')}, {(PM)(P'M')} forment un parallélogramme.
Propriétés simples des translations.
Soient trois points alignés C, P et P', avec P distinct de C.
Définition : On appelle homothétie de centre C et selon PP' la transformation qui à tout point M associe un point M' tel que 1) CMM' soient alignés et 2) que les droites (PM) et (P'M') soient parallèles.
L'ensemble réunion des translations et des homothéties est parfois appelé l'ensemble des dilatations du plan affine (à ne pas confondre avec Dilatation (géométrie)). On peut démontrer que c'est un groupe.
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