Soit un élément e[note 1] tel que en = −1 et tel que (1,e,e2,…,en−1) soit une famille libre : 𝓜ℂn est alors défini comme l’algèbre réelle générée par cette famille[note 2],[1],[2].
Chaque algèbre 𝓜ℂn est un cas particulier d’algèbre de Clifford généralisée(en)[3].
Comme en+1 = 0, chaque algèbre 𝓜ℂn est canoniquement isomorphe à l’algèbre quotient(en)ℝ[X]/Xn+1.
Tout nombre multicomplexe de pseudo-norme non nulle peut s’écrire sous forme polaire: [4].
ce que l’on peut écrire de manière compacte: 𝓜ℂn ≅ ℝn mod 2 × ℂ⌊n/2⌋.
Il s’ensuit immédiatement que:
si m et n ne sont pas simultanément impairs, 𝓜ℂm ⊕ 𝓜ℂn ≅ 𝓜ℂm+n;
si m et n sont simultanément impairs, 𝓜ℂm ⊕ 𝓜ℂn ≅ 𝓜ℂm+n−2 ⊕ [note 5].
En utilisant les propriétés précédentes, la distributivité du produit tensoriel d'algèbres⊗ℝ par rapport à la somme directe ⊕ et l’isomorphisme[note 6]𝓜ℂ4 ≅ ℂ ⊗ℝ ℂ, on démontre alors aisément que 𝓜ℂm ⊗ℝ 𝓜ℂn ≅ 𝓜ℂmn.
Isomorphisme avec les nombres multicomplexes de Segre
Au XIXesiècle, après que l’idée de représenter les nombres complexes sous la forme géométrique d’un plan 2D a été avancée, les mathématiciens ont cherché à étendre la notion de complexe à l’espace 3D, mais sans succès.
C’est finalement en abandonnant l’égalité du nombre de dimensions entre l’algèbre hypercomplexe cherchée et l’espace géométrique que les quaternions, de dimension 4, et leurs liens avec les rotations dans l’espace ont été découverts.
Malgré le succès des quaternions, les recherches d’une algèbre hypercomplexe de dimension 3 exhibant des propriétés similaires aux opérations géométriques dans l’espace ont continué, plusieurs auteurs arrivant finalement et indépendamment à l’algèbre 𝓜ℂ3[6] ou l’un de ses isomorphes triviaux[7],[note 7].
Bibliographie
(en) Norbert Fleury, Michel Rausch de Traubenberg et Robert Masgutovich Yamaleev, «Commutative Extended Complex Numbers and Connected Trigonometry», Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol.180, no2, , p.431–457 (ISSN0022-247X, DOI10.1006/jmaa.1993.1410, lire en ligne[PDF], consulté le )
(en) Norbert Fleury, Michel Rausch de Traubenberg et Robert Masgutovich Yamaleev, «Extended Complex Number Analysis and Conformal-like Transformations», Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol.191, no1, , p.118–136 (ISSN0022-247X, DOI10.1006/jmaa.1995.1123, lire en ligne[PDF], consulté le )
Michel Rausch de Traubenberg, Algèbres de Clifford, Supersymétrie et Symétries ℤn, Applications en Théorie des Champs (habilitation à diriger des recherches), Strasbourg, Université Louis Pasteur, (arXivhep-th/9802141), chap.1.2 («Extension des nombres complexes»), p.20–29
L’auteur nomme «nombres tricomplexes» l’isomorphisme de 𝓜ℂ3 qu’il étudie, mais ils ne doivent pas être confondus avec les «nombres tricomplexes» désignant historiquement ℂ3.