Nombre de Deborah

Le nombre de Deborah est un nombre sans dimension, utilisé en rhéologie pour caractériser la fluidité d'un matériau. Certains matériaux amorphes apparemment solides comme le goudron, certains polymères ou certains verres s'écoulent si on les observe sur une longue durée ou à une température assez élevée^[1], comme le montre l'expérience de la goutte de poix^[2].

Expérience de la goutte de poix.

La dénomination de ce nombre est due à l'ingénieur Markus Reiner, professeur au Technion, et fait référence à une ligne de la Bible (Livre des Juges 5:5), plus précisément un chant de la prophétesse Débora : « Les montagnes coulèrent devant le Seigneur »^[3]. On trouve une image semblable dans le Livre de Michée 1:4, ou encore dans le Psaume 97:5 : « Les montagnes se fondent comme la cire devant l’Éternel ».

Formellement, le nombre de Deborah est défini comme le rapport entre le temps de relaxation, caractérisant la fluidité intrinsèque d'un matériau, et l'échelle de temps caractéristique d'une expérience (ou d'une simulation numérique) testant la réponse du matériau. Plus le nombre de Deborah est petit, plus le matériau apparaît fluide.

On note :

${\displaystyle De={\frac {t_{\mathrm {c} }}{t_{\mathrm {p} }}}}$

où t_c est le temps caractéristique de relaxation du matériau et t_p est le temps caractéristique de l'expérience.

Ainsi, le verre ordinaire pourrait se déformer sous son propre poids au terme de plusieurs siècles à plusieurs centaines de degrés^[4], tandis que l'eau (t_c = 10⁻¹² s) pourrait produire des effets semblables à une fracture si elle subissait un choc extrêmement rapide.

Les matières possédant un t_c proche de la seconde ont un comportement ambivalent ("mi-liquide mi-solide" c'est-à-dire viscoélastique), tel le Silly Putty.

Comparaison avec le nombre de Weissenberg

La formule représentant le nombre de Weissenberg (en) Wi est, semble-t-il, différente du nombre de Deborah mais dans certaines conditions, représente la même valeur une fois développée^[5]:

${\displaystyle {Wi}={\dot {\gamma }}\lambda .\,}$

${\displaystyle {Wi}={De}={\frac {t_{\mathrm {c} }}{t_{\mathrm {p} }}}}$

Son interprétation est toutefois différente de celle du nombre de Deborah, bien que ces deux nombres soient souvent confondus.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Deborah number » (voir la liste des auteurs).

1. Jean-Michel Courty, Édouard Kierlik, « Quand le verre s'écoule », sur Pourlascience.fr (consulté le 15 octobre 2020)
2. Antoine Krempf, « La goutte la plus lente du monde a fini par tomber », France Info, 18 juillet 2013 (consulté le 21 juillet 2013).
3. (en) Markus Reiner, « The Deborah Number », Physics Today, vol. 17, n^o 1,‎ janvier 1964, p. 62 (DOI 10.1063/1.3051374).
4. Aurélien Ledieu, « Les verres coulent-ils ? », sur Pourlascience.fr (consulté le 15 octobre 2020)
5. (en) The Déborah and Weissenberg numbers British society of Rheology[PDF], sur pcwww.liv.ac.uk.

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