Nœud bordant

Un nœud bordant est un type de nœud mathématique.

Exemples

6₁

8₂₀

9₄₁

10₇₅

10₁₂₃

Nœud de ruban

Définitions

En théorie des nœuds, un nœud est un cercle inclus dans la 3-sphère :

${\displaystyle S^{3}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |=1\}}$

Cette 3-sphère peut être considérée comme le contour de la boule de rayon 1 et de dimension 4 :

${\displaystyle B^{4}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |\leq 1\}.}$

Un nœud ${\displaystyle K\subset S^{3}}$ est dit bordant s'il délimite un disque D, de dimension 2, « bien intégré » dans la 4-boule ${\displaystyle B^{4}}$^[1]. Ce que l'on entend par « bien intégré » dépend du contexte : il existe différents termes pour différents types de nœuds bordants. Si le disque D est plongé dans la 4-boule via une fonction lisse, alors K est à bord régulier. Si D n'est plongé que de façon localement plate dans la 4-boule, (ce qui est une hypothèse plus faible), alors K est un nœud topologiquement bordant.

Exemples

La liste suivante est la liste de tous les nœuds bordants comprenant 10 intersections ou moins; cette liste a été créée en utilisant The Knot Atlas :

${\displaystyle 6_{1}}$, ${\displaystyle 8_{8}}$, ${\displaystyle 8_{9}}$, ${\displaystyle 8_{20}}$, ${\displaystyle 9_{27}}$, ${\displaystyle 9_{41}}$, ${\displaystyle 9_{46}}$, ${\displaystyle 10_{3}}$, ${\displaystyle 10_{22}}$, ${\displaystyle 10_{35}}$, ${\displaystyle 10_{42}}$, ${\displaystyle 10_{48}}$, ${\displaystyle 10_{75}}$, ${\displaystyle 10_{87}}$, ${\displaystyle 10_{99}}$, ${\displaystyle 10_{123}}$, ${\displaystyle 10_{129}}$, ${\displaystyle 10_{137}}$, ${\displaystyle 10_{140}}$, ${\displaystyle 10_{153}}$ et ${\displaystyle 10_{155}}$.

Propriétés

Chaque nœud de ruban (en) est à bord régulier. Ralph Fox se demandait si chaque nœud à bord régulier était un nœud de ruban^[2].

La signature (en) d'un nœud bordant est nulle^[3]. Le polynôme d'Alexander d'un nœud bordant est le produit :

${\displaystyle f(t)f(t^{-1})}$

où ${\displaystyle f}$ est un polynôme à coefficients entiers^[3]. C'est ce qu'on nomme la condition Fox–Milnor^[4].

Références

1. Lickorish et Lickorish 1990, lire en ligne, p. 86.
2. Robert E. Gompf, Martin Scharlemann et Abigail Thompson, « Fibered knots and potential counterexamples to the property 2R and slice-ribbon conjectures" », Geometry & Topology, vol. 14, n^o 4,‎ 2010, p. 2305–2347 (DOI 10.2140/gt.2010.14.2305, MR 2740649, arXiv 1103.1601).
3. Lickorish et Lickorish 1990, lire en ligne, p. 90.
4. Lickorish et Lickorish 1990, lire en ligne, p. 61.

Bibliographie

• W.B.Raymond Lickorish, An Introduction to Knot Theory, Springer Science & Business Media, coll. « Graduate Texts in Mathematics » (n^o 175), 1997, x+204 (ISBN 9780387982540).

Voir également

• Genre de bord (en)
• Lien de bord (en)

• Portail des mathématiques