Le modèle de Verhulst imagine que le taux de natalité et le taux de mortalité sont des fonctions affines respectivement décroissante et croissante de la taille de la population. Autrement dit, plus la taille de la population augmente, plus son taux de natalité diminue et son taux de mortalité augmente. Verhulst pose d'autre part que, lorsqu'une population est de petite taille, elle a tendance à croître.
Le même modèle est utilisable pour des réactions autocatalytiques, dans lesquelles l'augmentation des individus touchés est proportionnelle à la fois au nombre d'individus déjà touchés et au nombre d'individus qui peuvent encore être touchés.
Ce modèle conduit, en temps continu, à une fonction logistique; et en temps discret à une suite logistique dont la particularité est d'être, dans certaines circonstances, chaotique.
Si on appelle:
y la taille de la population;
m(y) le taux de mortalité;
n(y) le taux de natalité,
alors, en s'inspirant du modèle de Malthus, la taille de la population suit l'équation différentielle
Si m et n sont des fonctions affines respectivement croissante et décroissante alors n – m est une fonction affine décroissante. Si d'autre part, pour y tendant vers 0, la croissance est positive, l'équation peut s'écrire
La recherche des fonctions strictement positives définies sur et vérifiant le système
conduit à la solution logistique
où l'on observe que la population tend vers la capacité d'accueil K, qu'elle est croissante si la population initiale est inférieure à la population d'accueil et décroissante sinon.
C'est sous cette forme qu'elle est étudiée comme suite logistique. Cette suite, bien que très simple par son expression, peut conduire à des résultats très variés; son comportement varie suivant les valeurs de μ:
pour μ < 1 (soit < 0), la population décroît et s'éteint
pour µ = 1 (soit a = 0), la population est constante
pour μ compris entre 1 et 3, c'est-à-dire compris entre 0 et 2, la suite converge vers et l'on retrouve bien une suite convergeant vers K
pour μ supérieur à 3, la suite peut, selon les valeurs de μ, osciller entre 2, 4, 8, 16… valeurs ou bien être chaotique.
Cf. notamment Martial Schtickzelle, «Pierre-François Verhulst (1804-1849). La première découverte de la fonction logistique», Population, Institut National d'Etudes Démographiques, vol.36, no3, , p.541-556 (DOI10.2307/1532620, lire en ligne).
Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement (lire en ligne), p.115-116
Note historique (pages 115 et 116): Pierre François Verhulst avait supposé au départ une croissance proportionnelle à la taille de la population (de type mp) freinée par une fonction croissante de p. Il a essayé plusieurs modèles, où le frein est une puissance de la population (de type npα) ou une fonction en log p, et prend finalement la valeur la plus simple np², par analogie à la force de frottement que subirait un système évoluant dans un milieu résistant (à vitesse élevée, voir Frottement fluide).
Nicolas Bacaër, Histoires de mathématiques et de populations, Éditions Cassini, coll.«Le sel et le fer», , 212p. (ISBN9782842251017), «Verhulst et l'équation logistique»
Bernard Delmas, «Pierre-François Verhulst et la loi logistique de la population», Mathematics and Social Sciences, vol.167, (lire en ligne)
Pierre-François Verhulst, «Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement», Correspondance mathématique et physique, no10, , p.113-121 (lire en ligne)
Pierre-François Verhulst, «Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population», Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, no18, , p.1-42 (lire en ligne)
Pierre-François Verhulst, «Deuxième mémoire sur la loi d'accroissement de la population», Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique, no20, , p.1-32 (lire en ligne)