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matrice positive inversible De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En algèbre linéaire, une matrice définie positive est une matrice positive inversible.
Soit une matrice à éléments réels ou complexes, par la suite on notera :
Soit une matrice symétrique réelle d'ordre . Elle est dite définie positive si elle est positive et inversible, autrement dit si elle vérifie l'une des quatre propriétés équivalentes suivantes :
Une matrice symétrique réelle est dite définie négative si son opposée (symétrique elle aussi) est définie positive.
La caractérisation 4 ci-dessus peut se justifier ainsi :
Elle permet de montrer que la matrice de Gram d'une famille de vecteurs d'un espace préhilbertien (réel ou complexe) est définie positive si et seulement si la famille est libre. Par exemple, toute matrice de Hilbert est définie positive.
On étend les propriétés et définitions précédentes aux matrices complexes.
Soit une matrice carrée complexe d'ordre . Elle est dite définie positive si elle vérifie l'une des quatre propriétés équivalentes suivantes :
Une matrice est dite définie négative si son opposée est définie positive.
Beaucoup de problèmes de résolution de systèmes linéaires les plus faciles à traiter numériquement sont ceux dont les matrices sont symétriques définies positives[1] : on dispose d'algorithmes numériquement stables et rapides pour l'inversion[2] et la diagonalisation des matrices définies positives.
Toute matrice symétrique réelle positive est limite d'une suite de matrices symétriques réelles définies positives, ce qui est à la base de nombreux raisonnements par densité[3].
Pour qu'une matrice , réelle symétrique ou complexe hermitienne, soit définie positive, il faut et suffit que les matrices pour de 1 à , aient leur déterminant strictement positif, autrement dit que les mineurs principaux dominants soient strictement positifs.
Dans le cas complexe, plus général, la preuve est analogue, en considérant la forme hermitienne définie par la matrice.
Une autre méthode est d'utiliser le théorème d'entrelacement de Cauchy[4].
La notion de matrice définie positive est donc analogue à celle de nombre réel strictement positif dans la forme polaire d'un nombre complexe.
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