Liste des petits groupes

La liste mathématique suivante décrit les groupes finis (abéliens ou non abéliens) d'ordre inférieur ou égal à 20, à isomorphisme près.

Nombre de groupes pour chaque ordre de 1 à 20

Ordre	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Nombre de groupes abéliens[1]	1	1	1	2	1	1	1	3	2	1	1	2	1	1	1	5	1	2	1	2
Nombre de groupes non abéliens[2]	0	0	0	0	0	1	0	2	0	1	0	3	0	1	0	9	0	3	0	3
Nombre total de groupes[3],[4]	1	1	1	2	1	2	1	5	2	2	1	5	1	2	1	14	1	5[5]	1	5[6]

Terminologie et notations

• Z_n : le groupe cyclique d'ordre n (parfois noté C_n, il est isomorphe à Z/nZ).
• D_2n : le groupe diédral d'ordre 2n.
• S_n : le groupe symétrique de degré n, contenant les n! permutations de n objets.
• A_n : le groupe alterné de degré n, contenant les n!/2 permutations paires de n objets.
• Dic_n : le groupe dicyclique d'ordre 4n (généralisant les groupes de quaternions Q_4n).

La notation G × H désigne le produit direct des deux groupes ; Gⁿ désigne le produit direct de n copies du groupe G. G ⋊ H désigne un produit semi-direct où H agit sur G ; quand l'action exacte de H sur G est omise, toutes les actions non triviales conduisent au même groupe produit (à isomorphisme près).

Les groupes simples d'ordre n < 60 sont les groupes cycliques Z_n, avec n premier. Le signe d'égalité ("=") désigne l'isomorphisme.

Dans les graphes des cycles, l'élément neutre est représenté par un cercle noir. Le plus petit groupe que ce graphe ne caractérise pas à isomorphisme près est d'ordre 16.

La liste des sous-groupes ne mentionne que ceux distincts du groupe trivial et du groupe entier. Quand il existe plusieurs sous-groupes isomorphes, leur nombre est indiqué entre parenthèses.

Petits groupes abéliens

Les groupes abéliens finis ont une classification simple : ils sont cycliques, ou produits directs de groupes cycliques.

Ordre	Groupe	Sous-groupes	Propriétés	Graphe des cycles
1	groupe trivial = Z1 = S1 = A2	-	de nombreuses propriétés triviales
2	Z2 = S2 = D2	-	simple, plus petit groupe non trivial
3	Z3 = A3	-	simple
4	Z4	Z2	-
	groupe de Klein = Z2 × Z2 = D4	Z2 (3)	plus petit groupe non cyclique
5	Z5	-	simple
6	Z6 = Z3 × Z2	Z3 , Z2
7	Z7	-	simple
8	Z8	Z4 , Z2	-
	Z4 × Z2	Z22, Z4 (2), Z2 (3)
	Z23	Z22 (7) , Z2 (7)	les éléments autres que l'identité correspondent aux points du plan de Fano (le plus petit plan projectif fini), les Z2 × Z2 sous-groupes aux droites de ce plan
9	Z9	Z3
	Z32	Z3 (4)
10	Z10 = Z5 × Z2	Z5 , Z2
11	Z11	-	simple
12	Z12 = Z4 × Z3	Z6 , Z4 , Z3 , Z2
	Z6 × Z2 = Z3 × Z22	Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z22
13	Z13	-	simple
14	Z14 = Z7 × Z2	Z7 , Z2
15	Z15 = Z5 × Z3	Z5 , Z3
16	Z16	Z8 , Z4 , Z2
	Z24	Z2 (15) , Z22 (35) , Z23 (15)
	Z4 × Z22	Z2 (7) , Z4 (4) , Z22 (7) , Z23, Z4 ×Z2 (6)	ce groupe a le même graphe des cycles que celui engendré par les matrices de Pauli (mais ne lui est pas isomorphe)
	Z8 × Z2	Z2 (3) , Z4 (2) , Z22, Z8 (2) , Z4 × Z2
	Z42	Z2 (3), Z4 (6) , Z22, Z4 × Z2 (3)
17	Z17	-	simple

Petits groupes non abéliens

On ne connaît pas de classification complète des groupes non abéliens. Tout groupe simple non abélien est d'ordre pair (c'est le théorème de Feit-Thompson) ; le plus petit est le groupe A₅, d'ordre 6.

Ordre	Groupe	Sous-groupes	Propriétés	Graphe des cycles
6	S3 = D6	Z3 , Z2 (3)	plus petit groupe non abélien, groupe des symétries du triangle équilatéral
8	D8	Z4, Z22 (2) , Z2 (5)	groupe des symétries du carré
	groupe des quaternions = Q8 = Dic2	Z4 (3), Z2	plus petit groupe hamiltonien ; plus petit groupe admettant un groupe quotient non isomorphe à l'un de ses sous-groupes
10	D10	Z5 , Z2 (5)	groupe des symétries du pentagone régulier
12	D12 = D6 × Z2	Z6 , D6 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7)	groupe des symétries de l'hexagone régulier
	A4	Z22 , Z3 (4) , Z2 (3)	plus petit groupe n'admettant pas de sous-groupes de tous les ordres divisant l'ordre du groupe : pas de sous-groupe d'ordre 6 (voir le théorème de Lagrange et les théorèmes de Sylow)
	Dic3 = Z3⋊Z4	Z2, Z3, Z4 (3), Z6
14	D14	Z7, Z2 (7)	groupe des symétries de l'heptagone régulier
16[7]	D16	Z8, D8 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9)	groupe des symétries de l'octogone régulier
	D8 × Z2	D8 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (11), Z4 (2), Z2 (11)
	groupe de quaternions généralisé Q16 = Dic4
	Q8 × Z2		groupe hamiltonien
	Le groupe quasidiédral (en) d'ordre 16
	Le groupe modulaire (en) d'ordre 16
	Z4⋊Z4
	Le groupe engendré par les matrices de Pauli		ce groupe a le même graphe des cycles que le groupe Z4 × Z22, mais ne lui est pas isomorphe
	G4,4 = Z22⋊Z4

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « List of small groups » (voir la liste des auteurs).

1. Pour des ordres plus grands, voir la suite A000688 de l'OEIS.
2. Pour des ordres plus grands, voir la suite  A060689 de l'OEIS.
3. (en) Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups [détail des éditions], 1976, p. 52, aperçu sur Google Livres.
4. Pour des ordres plus grands, voir la suite  A000001 de l'OEIS.
5. (en) « Groups of order 18 », sur groupprops.
6. (en) « Groups of order 20 », sur groupprops.
7. (en) Marcel Wild, « The Groups of Order Sixteen Made Easy », Amer. Math. Monthly,‎ janvier 2005 (lire en ligne)

Voir aussi

Article connexe

Liste des groupes finis simples

Liens externes

• Liste des groupes d'ordre inférieur ou égal à 31 dans : (en) Eric W. Weisstein, « Finite Group », sur MathWorld
• (en) Hans Ulrich Besche, Bettina Eick et Eamonn O'Brien, « The Small Groups library »

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