Loading AI tools
application entre deux anneaux préservant leur structure algébrique De Wikipédia, l'encyclopédie libre
Un morphisme d'anneaux est une application entre deux anneaux (unitaires) A et B, compatible avec les lois de ces anneaux et qui envoie le neutre multiplicatif de A sur le neutre multiplicatif de B.
Un morphisme d'anneaux est une application f entre deux anneaux (unitaires) A et B qui vérifie les trois[1] propriétés suivantes :
Pour tous a, b dans A :
En revanche, les exemples suivants ne sont pas des morphismes :
Un morphisme d'anneaux f : A → B est en particulier un morphisme de groupes entre les groupes additifs sous-jacents. On récupère donc quelques propriétés connues pour ceux-ci en général :
De même, f étant un morphisme de monoïdes multiplicatifs, on en déduit que si a est inversible dans A, f(a) l'est aussi et :
Ainsi, munis de leurs morphismes, les anneaux constituent une catégorie.
On appelle isomorphisme d'anneaux un morphisme bijectif (automorphisme lorsque les anneaux de départ et d'arrivée sont les mêmes). Deux anneaux entre lesquels il existe un isomorphisme sont dits isomorphes.
Lorsqu'on dispose d'un morphisme injectif entre deux anneaux, soit i de A vers S, il est courant d'oublier la distinction entre l'ensemble A et son image A1=i(A). On identifie les structures isomorphes A et A1 au point d'oublier volontairement la distinction entre ces deux ensembles, et d'utiliser des notations qui ne les distinguent pas.
Par exemple, si on construit les nombres complexes comme des couples de réels, le nombre complexe 3 est par définition le couple de réels (3,0) et n'est pas égal au réel 3. Utiliser des notations les distinguant serait fort peu praticable, et on les « identifie ». Ainsi on déclare que R est un « sous-ensemble » de C alors qu'en toute rigueur il n'est qu'un ensemble muni d'un morphisme injectif vers C.
Dans ce type de contextes, on dit souvent que A est plongé dans S, ou que S est une extension de A[2].
Les morphismes d'anneaux se comportent avec les sous-anneaux comme les morphismes de groupes avec les sous-groupes[3] :
Avec les idéaux, comme avec les sous-groupes distingués, on ne peut conclure que dans un sens :
Un morphisme de corps commutatifs est par définition un morphisme d'anneaux entre deux corps commutatifs.
Tout morphisme de corps est injectif, son noyau étant un idéal, et un corps n'ayant d'autres idéaux que l'idéal nul et lui-même. C'est donc un isomorphisme si et seulement s'il est surjectif.
Tout cela se généralise aux corps gauches.
Dans la catégorie des anneaux (unitaires), les monomorphismes sont exactement les morphismes injectifs. En revanche, si tout morphisme surjectif est un épimorphisme (comme dans toute sous-catégorie de la catégorie des ensembles), la réciproque n'est pas vraie : l'injection de Z dans Q est un épimorphisme non surjectif[5].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.