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En mathématiques, un problème d'inéquation variationnelle englobe en les généralisant un certain nombre de problèmes classiques tels que la recherche d'un zéro d'une fonction, la recherche d'un point stationnaire d'un problème d'optimisation, le problème de complémentarité linéaire, etc. Le formalisme a d'abord été introduit pour analyser certaines équations aux dérivées partielles modélisant des problèmes avec contact ou avec frontière libre (problème de Signorini) avant de devenir un cadre formel autonome s'appliquant à des problèmes variés.
Étant donnés un espace de Banach dont le dual topologique est noté (le crochet de dualité est noté ), un ensemble non vide et une fonction , un problème d'inéquation variationnelle consiste à trouver un point tel que
Ce problème est donc noté . Géométriquement, si est un espace de Hilbert, si son dual est identifié à et si est convexe, il s'agit de trouver un point tel que soit dans le cône normal à en .
Lorsque les données ont une structure particulière, on retrouve des problèmes classiques.
Si est un espace de Hilbert, un point est solution de si, et seulement si, c'est un point fixe de la fonction
On a noté le projecteur orthogonal sur . Les résultats d'existence de point fixe peuvent donc être utilisés pour obtenir des conditions d'existence de solution du problème . En dimension finie, le résultat suivant est une conséquence immédiate du théorème du point fixe de Brouwer, appliqué à la fonction .
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