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En mathématiques, la suite de Fibonacci est définie par récurrence par :
Autrement dit, les deux valeurs de départ 0 et 1 étant données, chaque nombre est la somme des deux précédents.
La suite de Fibonacci peut être généralisée de nombreuses façons ; par exemple, en partant d'autres nombres que 0 et 1, en ajoutant plus de deux termes pour engendrer le suivant, ou en ajoutant des objets autres que des nombres.
À l'aide de la relation Fn − 2 = Fn − Fn − 1, on peut étendre la suite de Fibonacci à des indices entiers négatifs. On obtient la suite : ..., −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... qui vérifie : F−n = (−1)n+1Fn.
De manière similaire à la généralisation de la suite des factorielles par la fonction Gamma d'Euler, on peut construire une généralisation de la suite de Fibonacci à des valeurs de départ réelles (et même complexes).
Elle est basée sur la formule de Binet faisant intervenir le nombre d'or φ :
En posant :
on obtient une fonction holomorphe sur le plan complexe qui satisfait Fib(n) = Fn pour tout entier n[1].
Elle vérifie aussi Fib(z + 2) = Fib(z + 1) + Fib(z) pour tout complexe z.
On peut désigner par suite de type Fibonacci toute suite (un) à valeurs dans un espace vectoriel, vérifiant un+2 = un+1 + un pour tout naturel n. Ces suites peuvent aussi être définies par un = u0 Fn–1 + u1 Fn , de sorte qu'elles forment un plan vectoriel de base ((Fn–1),(Fn)). D'après la formule de Binet ci-dessus, une autre base de ce plan est (φn,(–φ)–n).
Plus généralement, (un) peut prendre ses valeurs dans un groupe abélien (considéré comme un -module). Dans ce cas, les suites de type Fibonacci forment un -module de dimension 2.
La suite de type Fibonacci la plus connue après la suite (Fn) est la suite des nombres de Lucas (Ln) définie par L0 =2, L1 = 1 et donc Ln+2 = Ln+1 + Ln ; prolongée aux entiers négatifs, elle vérifie aussi L−n = (−1)n+1Ln.
Les suites d'entiers de type Fibonacci non triviales se trouvent toutes (éventuellement avec un décalage) sur une des lignes du tableau de Wythoff. La suite de Fibonacci en est la première ligne, et un décalage de celle de Lucas la deuxième[2].
En reprenant les notations des suites de Lucas, on peut considérer les suites (un) vérifiant un+2 = p un+1 – q un où p et q sont des entiers fixés. Elles sont toutes combinaisons linéaires des deux suites de base (Un), (Vn) définies par :
(pour p= 1, q = –1, Un = Fn et Vn = Ln).
Lorsque q = –1, la suite (Un) est appelée p-suite de Fibonacci et c'est aussi la valeur en p du polynôme de Fibonacci d'indice n. Exemples :
La p-constante de Fibonacci, appelée aussi p-ième nombre métallique, est la limite du rapport de deux nombres consécutifs de la p-suite de Fibonacci ; c'est l'unique solution positive de x2 − px − 1 = 0, égale à p + √p2+42.
En particulier, pour p = 1 on obtient le nombre d'or 1 + √52, pour p = 2, le nombre d'argent 1 + √2, et sa valeur pour p = 3 , 3 + √132, est parfois appelée nombre de bronze.
Plus généralement, (Un) est appelée la (p,−q)-suite de Fibonacci ; exemples :
Une suite de type Fibonacci d'ordre p , ou suite de p-bonacci, est une suite d'entiers dans laquelle chaque terme à partir du p + 1-ième est la somme des p précédents (le cas classique est p = 2). Commençant à l'indice 0 et avec les p premiers termes 0, 1, 1, 2, 4, ..., on la note (F(p)
n).
Interprétations combinatoires :
Ces suites ont été étudiées par Marc Barr en 1913[3].
Ce sont les suites de type Fibonacci d'ordre 3 ; avec pour premiers termes 0,0,1, on obtient la suite A000073 de l'OEIS :
0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1 705, 3 136, 5 768, 10 609, 19 513, 35 890, 66 012…
La constante de Tribonacci : , limite du quotient (suivant sur précédent) de deux termes consécutifs est étudiée dans l'article détaillé ci-dessus.
Ce sont les suites de type Fibonacci d'ordre 4 ; avec pour premiers termes 0, 0, 0, 1, on obtient la suite A000078 de l'OEIS :
0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, ...
La constante de Tétranacci, rapport limite de deux termes consécutifs, racine positive de l'équation x4 − x3 − x2 − x − 1 = 0, ou x + x−4 = 2 , vaut environ 1,927561975482925 ( A086088) ; sa valeur exacte est[4] :
où
Une suite où chaque terme est la somme des p précédents est désignée par suite de p-bonacci, ou p-nacci, avec des suffixes grecs pour les premières valeurs de p :
La limite du quotient de deux termes consécutifs de la suite de p-nacci est appelée constante de p-nacci ; c'est la solution positive de l'équation caractéristique : xp = 1 + x + ... +xp – 1 ou celle de x + x−p = 2 autre que 1
Elle permet d'obtenir une formule directe du terme d'indice n de la suite de p-nacci définie ci-dessus[4] :
On peut mettre des coefficients dans la relation de récurrence ; la suite de Padovan, et la suite de Perrin, vérifiant Pn+3 = Pn+1 + Pn, entrent dans cette catégorie, et, plus généralement, les suites suivantes.
Pour obtenir toutes les suites où chaque terme est une combinaison linéaire à coefficients entiers fixée des termes précédents, on définit la suite de Fibonacci engendrée par N (où N est un nombre rationnel positif) comme suit : si N = 2a1 × 3a2 × 5a3 × 7a4 × ... × prar où pr est le r-ième nombre premier, on pose :
avec les initialisations : FN(n) = 0 pour n < r − 1, FN`(r –1) = 1.
On obtient ainsi les cas précédents comme :
Nom de la suite | N | Référence dans l'OEIS |
---|---|---|
suite de Fibonacci | 6 | suite A000045 de l'OEIS |
suite de Pell | 12 | suite A000129 de l'OEIS |
suite de Jacobsthal | 18 | suite A001045 de l'OEIS |
suite de Tribonacci | 30 | suite A000073 de l'OEIS |
suite de Tetranacci | 210 | suite A000078 de l'OEIS |
suite de Padovan | 15 | suite A000931 de l'OEIS |
Partons du problème initial posé par Fibonacci : sachant qu'un couple de lapins donne naissance à un nouveau couple chaque mois et que chaque couple commence à engendrer à partir du deuxième mois suivant sa naissance, on demande le nombre total de couples au n-ième mois.
On peut supposer que chaque couple commence à engendrer à partir du p-ième mois suivant sa naissance (biologiquement ce serait p = 4 ou 5).
Posant un, le nombre de couples de lapins nés durant le mois n, et partant d'un couple au mois 1, le nombre demandé est Fn = u1 + u2 + ... + un ; comme un = Fn–p = Fn – Fn–1, la suite (Fn) est définie par :
.
Ici, un couple de lapins donne naissance à r nouveaux couples chaque mois et chaque couple commence à engendrer à partir du p-ième mois suivant sa naissance.
La suite donnant le nombre de lapins au mois n est alors définie par .
Pour p = 2 , on dispose de la formule exacte : , et la limite de est . Exemples :
On a dans ce cas tout simplement et tend vers 2.
Pour p = 3, r = 2, on obtient : 1, 1, 1, 3, 5, 7, 13, 23, 37, 63, 109,..., suite A077949 de l'OEIS décalée d'un cran.
Pour p = 3, r = 3, on obtient : 1, 1, 1, 4, 7, 10, 22, 43, 73, 139, 268,..., suite A084386 de l'OEIS décalée d'un cran.
On pose maintenant la condition que chaque lapin vit exactement q mois (i.e. meurt durant le q-ième mois suivant son mois de naissance), avec , les portées étant toujours de r couples[6].
Plus précisément, une lapine qui naît le mois n, commence à procréer le mois n + p, continue de procréer jusqu'au mois n + q, et meurt à la fin de ce mois ; chaque couple donne donc naissance à r(q – p + 1) couples.
Si l'on pose :
La suite (un) peut être définie sur les entiers relatifs par :
et on obtient Fn par la formule Fn = un + ... + un –q + 1.
La suite (Fn) peut être définie directement par récurrence d'ordre q :
les q premiers termes étant définis par :
Elle vérifie aussi la relation de récurrence plus simple, mais d'ordre q + 1 : Fn = Fn –1 +r(Fn –p – Fn –q – 1) pour n ≥ q + 2.
1) Pour p = 2 et q = 3 (le couple met bas au bout de 2 mois, met bas puis meurt le mois suivant), on obtient la suite définie par :
Soit 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151,...
vérifiant aussi la récurrence d'ordre 4 :
C'est la suite de Padovan décalée, suite A134816 de l'OEIS.
2) Pour p = 2 et q = 4, on obtient la suite définie par :
Soit : 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88, 129, 189, 277,...
Elle est aussi définie par récurrence d'ordre 3 :
Et on a la récurrence d'ordre 5 :
Pour p = 1 , q = 2, r = 2, on obtient la suite définie par :
: 1, 3, 8, 22, 60, 164, 448, 1224, 3344, 9136, 24960, 68192, ...., suite A028859 de l'OEIS décalée d'un cran.
Dans La cochonnerie, ou calcul estimatif pour connaître jusqu’où peut aller la production d’une truie pendant dix ans de temps (1699), Vauban montre qu’une seule truie a une descendance telle que, après douze générations, « il y a des porcs autant que l’Europe peut en nourrir ». Sa suite serait presque le cas p = 1 , q = 5, r = 6, avec une unité de temps égale à l'année au lieu du mois pour les lapins, sauf qu'il estime la première portée égale à 3 couples au lieu de 6.
La suite de Vauban est donc la suite (un) du nombre de naissances définie par :
On obtient pour (un) : 1, 3, 15, 69, 321, 1491, 6921, 32139, 149229, 692919, ... suite A224749 de l'OEIS.
Par analogie avec la suite de Fibonacci numérique, la suite des mots de Fibonacci est définie par : où désigne la concaténation de deux mots. En ôtant les parenthèses, on obtient :
La longueur de Mn est évidemment Fn et les mots de Fibonacci possèdent de nombreuses propriétés détaillées dans l'article correspondant.
Une suite de Fibonacci convolée est obtenue en effectuant, une ou plusieurs fois, le produit de convolution de la suite par elle-même. Plus précisément, on définit[7] :
Les premières suites sont
Elles peuvent être calculées à l'aide de la relation de récurrence .
La fonction génératrice du r-ième produit de convolution est .
Ces suites sont liées à la suite (Pn) des polynômes de Fibonacci par la relation : F(r)
n = r! P(r)
n(1) où P(r)
n est la r-ième dérivée de Pn . De manière équivalente, F(r)
n est le coefficient de (x − 1)r lorsque Pn(x) est développé suivant les puissances de x − 1.
Le premier produit de convolution peut être écrit en termes de nombres de Fibonacci et de Lucas :
et suit la récurrence
Des expressions similaires peuvent être trouvées pour r > 1 avec augmentation de la complexité à mesure que r augmente. Les nombres F(r)
n sont les sommes des lignes du triangle d' Hosoya (en).
Comme pour la suite de Fibonacci, il y a plusieurs interprétations combinatoires de ces suites. Par exemple, F(1)
n est le nombre de façons d'écrire n − 2 comme une somme de 0, de 1, et de 2 avec 0 utilisé exactement une fois. En particulier, F(1)
4 = 5 car 2 peut être écrit 0 + 1 + 1, 0 + 2, 1 + 0 + 1, 1 + 1 + 0, 2 + 0[8].
Une suite de Fibonacci aléatoire peut être définie lors d'un jeu de pile ou face, en prenant Fn = Fn –1 + Fn –2 si la pièce tombe sur pile, Fn = Fn –1 –Fn – 2 sinon. Une étude de Furstenberg et Kesten montre que cette suite croît presque sûrement de façon exponentielle avec un taux de variation constant : la constante est indépendante de la pièce jetée et a été calculée en 1999 par Divakar Viswanath. Elle est maintenant connue sous le nom de constante de Viswanath (suite A078416 de l'OEIS).
Un repfigit, ou nombre de Keith, est un entier naturel tel que, si l'on démarre une suite de type Fibonacci avec ses chiffres, le nombre d'origine finit par être atteint. Un exemple est 47, car la suite de type Fibonacci partant de 4 et 7 (4, 7, 11, 18, 29, 47) atteint 47. En base 10, les premiers repfigits sont :
La demi-suite de Fibonacci (suite A030067 de l'OEIS) est définie par la même récurrence que la suite de Fibonacci pour les termes d'indice impair : a2n+1 = a2n + a2n –1 mais pour les indices pairs par a2n = an. La sous-suite des termes d'indice impair sn = a2n –1 vérifie sn+1 = sn + an et est strictement croissante. Ses premiers termes :
Elle est définie par s2n = sn, et s2n+1 = sn + sn –1, avec pour initialisation : s0 = 0, s1 = 1.
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