Formule de Machin

La formule de Machin fut découverte en 1706 par John Machin et relie le nombre π à la fonction trigonométrique arctangente :

${\displaystyle \pi =16\arctan {\frac {1}{5}}-4\arctan {\frac {1}{239}}.}$

Extrait du Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) de William Jones, présentant la série de John Machin.

Cette formule permet de calculer une approximation du nombre π grâce au développement en série entière de la fonction arctangente. John Machin l'utilisa pour obtenir les cent premières décimales de π.

Démonstrations

On peut démontrer la formule de Machin^[1] en utilisant l'identité trigonométrique ${\displaystyle \tan(a+b)={{\tan a+\tan b} \over {1-\tan a\tan b}}.}$

Une façon moderne de présenter le résultat est de le relier aux propriétés des nombres complexes. La formule de Machin découle alors de l'identité suivante entre nombres complexes : ${\displaystyle {(5+{\rm {i}})^{4} \over (239+{\rm {i}})}=2\times (1+{\rm {i}}).}$

En effet, on peut montrer l'équivalence suivante : ${\displaystyle m\arctan {\frac {1}{x}}+\arctan {\frac {1}{y}}\equiv {\frac {\pi }{4}}{\pmod {\pi }}\Leftrightarrow (x+{\rm {i}})^{m}(y+{\rm {i}}){\rm {e}}^{-{\rm {i}}{\frac {\pi }{4}}}\in \mathbb {R} .}$

Ceci permet de conclure en remarquant que l'on peut encore remplacer ${\displaystyle y+{\rm {i}}}$ par ${\displaystyle {\frac {1}{-y+{\rm {i}}}}}$ et en vérifiant^[1] que ${\displaystyle 4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$ est strictement compris entre ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}-\pi }$ et ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}+\pi }$.

Utilisation

Le développement de arctan en série entière fournit la méthode de calcul suivante : ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{1 \over {2n+1}}\left({\frac {1}{5}}\right)^{2n+1}-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{1 \over {2n+1}}\left({\frac {1}{239}}\right)^{2n+1}.}$

Formules du type de Machin

D'autres formules du même type ont été découvertes, et on appelle « formules du type de Machin » les formules de la forme : ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n}^{N}a_{n}\arctan {\frac {1}{b_{n}}}}$ où les ${\displaystyle a_{n}}$ et les ${\displaystyle b_{n}}$ sont des entiers.

Formules historiques

Il n'existe que trois autres formules du type de Machin avec deux termes seulement^[2]. Elles ont été découvertes respectivement par Euler, Hermann et Hutton^[3] (1776, utilisée par Vega en 1789) : ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}},}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}},}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}$

Elles découlent respectivement des identités suivantes entre nombres complexes : ${\displaystyle {(2+{\rm {i}})(3+{\rm {i}})}=5(1+{\rm {i}}),}$ ${\displaystyle {(2+{\rm {i}})^{2} \over (7+{\rm {i}})}={\frac {1+{\rm {i}}}{2}},}$ ${\displaystyle {(3+{\rm {i}})^{2}(7+{\rm {i}})}=50(1+{\rm {i}}).}$

Il est en fait possible de construire une infinité de formules de ce type en utilisant plus de termes, mais seules les formules les plus efficaces historiquement pour calculer le nombre ${\displaystyle \pi }$ sont devenues célèbres. ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}}$ (Carl Friedrich Gauss) ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$ (Carl Størmer, 1896) ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$ (Kikuo Takano, 1982).

La recherche de formules de Machin efficaces se fait désormais systématiquement à l'aide d'ordinateurs. Les formules les plus efficaces du type de Machin actuellement connues pour calculer π sont : ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=183\arctan {\frac {1}{239}}+32\arctan {\frac {1}{1023}}-68\arctan {\frac {1}{5832}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}-12\arctan {\frac {1}{4841182}}-100\arctan {\frac {1}{6826318}}}$ 黃見利 (Hwang Chien-Lih, 1997) ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=183\arctan {\frac {1}{239}}+32\arctan {\frac {1}{1023}}-68\arctan {\frac {1}{5832}}+12\arctan {\frac {1}{113021}}-100\arctan {\frac {1}{6826318}}-12\arctan {\frac {1}{33366019650}}+12\arctan {\frac {1}{43599522992503626068}}}$ 黃見利 (Hwang Chien-Lih, 2003)

Il existe d'autres formules qui convergent plus rapidement vers π, comme la formule de Ramanujan, mais elles ne sont pas du type de Machin.

Formules de type Machin basées sur la suite de Fibonacci

On peut construire de façon très simple des formules de type Machin en utilisant les termes de la suite de Fibonacci ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$. En effet, en utilisant l'identité de Cassini :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ F_{p+1}F_{p-1}-F_{p}^{2}=(-1)^{p}}$

on peut déduire l'égalité :

${\displaystyle \forall n\geqslant 1,\ \arctan {\frac {1}{F_{2n}}}=\arctan {\frac {1}{F_{2n+1}}}+\arctan {\frac {1}{F_{2n+2}}}.}$

On peut en déduire les formules :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ \pi =4\sum _{k=1}^{n-1}\arctan {\frac {1}{F_{2k+1}}}+4\arctan {\frac {1}{F_{2n}}}.}$

La formule de type Machin découverte par Euler correspond au cas n = 2.

Démonstration

On déduit la première égalité directement de l'identité de Cassini et de la définition de la suite de Fibonacci : on a, pour tout n,

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan {\frac {1}{F_{2n}}}-\arctan {\frac {1}{F_{2n+2}}}&=\arctan \left({\frac {{\tfrac {1}{F_{2n}}}-{\tfrac {1}{F_{2n+2}}}}{1+{\tfrac {1}{F_{2n}}}{\tfrac {1}{F_{2n+2}}}}}\right)=\arctan \left({\frac {F_{2n+2}-F_{2n}}{F_{2n}F_{2n+2}+1}}\right)\\&=\arctan \left({\frac {F_{2n+1}}{F_{2n+1}^{2}}}\right)=\arctan {\frac {1}{F_{2n+1}}}.\end{aligned}}}$

La suite des sommes s'obtient en appliquant l'égalité précédente et en remarquant que la somme peut être réécrite en somme télescopique :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\arctan {\frac {1}{F_{2k+1}}}=\sum _{k=1}^{n-1}\left(\arctan {\frac {1}{F_{2k}}}-\arctan {\frac {1}{F_{2k+2}}}\right)=\arctan {\frac {1}{F_{2}}}-\arctan {\frac {1}{F_{2n}}}=\arctan 1-\arctan {\frac {1}{F_{2n}}}={\frac {\pi }{4}}-\arctan {\frac {1}{F_{2n}}}}$

Formules de type Machin basées sur les développements de Lehmer

Des formules de type Machin reposent sur le développement en contangente continue de Lehmer d'un nombre rationnel : pour un nombre positif rationnel x donnée, il existe un unique ensemble fini d'entiers positifs (b_k)_{1 ≤ k ≤ N} vérifiant^[4],[5]

${\displaystyle b_{k}\geqslant b_{k-1}^{2}+b_{k-1}+1}$

telle que :

${\displaystyle x=\cot \left(\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}\operatorname {arccot}(b_{k})\right)=\cot \left[\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}\arctan \left({\frac {1}{b_{k}}}\right)\right].}$

Une suite de nombres bien choisis donne des formules efficaces, mais les derniers termes sont souvent de grands nombres.

Recherche de formules efficaces

Afin de déterminer l'efficacité d'une formule du type de Machin, Derrick Lehmer a défini une mesure^[6], pour la formule : ${\displaystyle F\longleftrightarrow {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\arctan {\frac {1}{b_{k}}}}$ on pose ${\displaystyle \mu (F)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\log _{10}(|b_{n}|)}}.}$ La mesure quantifie la « quantité d'effort » requis par la formule, et celle-ci sera d'autant meilleure que sa mesure sera petite.

La meilleure formule connue à ce jour selon ce critère est^[7]: ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=83\arctan {\frac {1}{107}}+17\arctan {\frac {1}{1710}}-22\arctan {\frac {1}{103697}}-24\arctan {\frac {1}{2513489}}\\&-44\arctan {\frac {1}{18280007883}}+12\arctan {\frac {1}{7939642926390344818}}+22\arctan {\frac {1}{3054211727257704725384731479018}}.\end{aligned}}}$

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Machin-like formula » (voir la liste des auteurs).

1. Voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
2. (en) Carl Størmer, « Solution complète en nombres entiers de l'équation ${\displaystyle m\arctan {\frac {1}{x}}+n\arctan {\frac {1}{y}}=k{\frac {\pi }{4}}}$ », Bull. Soc. Math. France, vol. 27,‎ 1899, p. 160-170 (lire en ligne).
3. (en) Eric W. Weisstein, « Machin-Like Formulas », sur MathWorld.
4. (en) Derrick H. Lehmer, « A cotangent analogue of continued fractions », Duke Mathematical Journal, vol. 4, n^o 2,‎ juin 1938, p. 323-340 (DOI 10.1215/S0012-7094-38-00424-7)
5. T. Rivoal, « Propriétés diophantiennes du développement en cotangente continue de Lehmer », Monatshefte für Mathematik, vol. 150,‎ 2007, p. 49–71 (lire en ligne)
6. (en) Derrick Lehmer, « On Arccotangent Relations for π », The American Mathematical Monthly, vol. 45,‎ 1938, p. 657-664 (DOI 10.1080/00029890.1938.11990873)
7. (en) Sanjar M. Abrarov, Rehan Siddiqui, Rajinder K. Jagpal et Brendan M. Quine, « A Method to Reduce the Lehmer Measure in a Multi-Term Machin-Like Formula for π », Open Journal of Applied Sciences, vol. 12,‎ 2022, p. 1477-1493 (DOI 10.4236/ojapps.2022.128101)

• Arithmétique et théorie des nombres