En géométrie , la formule de Bretschneider permet de calculer l'aire d'un quadrilatère non croisé :
S
=
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
−
a
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}
où, a, b, c, d , sont les longueurs des côtés du quadrilatère, p le demi-périmètre, et α et γ deux angles opposés quelconques [1] .
Remarquons que
cos
(
α
+
γ
)
=
cos
(
β
+
δ
)
{\displaystyle \cos(\alpha +\gamma )=\cos(\beta +\delta )}
puisque
α
+
β
+
γ
+
δ
=
2
π
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta =2\pi }
.
Cette formule fonctionne pour un quadrilatère convexe ou concave (mais non croisé), non forcément inscriptible .
Elle contient la formule de Brahmagupta de l'aire d'un quadrilatère inscriptible (cas
α
+
γ
=
π
{\displaystyle \alpha +\gamma =\pi }
), ainsi que la formule de Héron de l'aire d'un triangle (cas
d
=
0
{\displaystyle d=0}
).
Elle montre qu'un quadrilatère articulé possède une aire maximale lorsqu'on inscrit ses sommets dans un cercle.
Elle a été découverte en 1842 par le mathématicien allemand Carl Anton Bretschneider [2] .
En la séparant par l'une des diagonales intérieures (disons [BD ]), la surface du quadrilatère est réunion de deux surfaces triangulaires. Son aire est alors donnée par
S
=
a
d
sin
α
2
+
b
c
sin
γ
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}}
D'où
4
S
2
=
(
a
d
)
2
sin
2
α
+
(
b
c
)
2
sin
2
γ
+
2
a
b
c
d
sin
α
sin
γ
.
{\displaystyle 4S^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .}
Or la formule d'Al-Kashi donne
B
D
2
=
a
2
+
d
2
−
2
a
d
cos
α
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
γ
.
{\displaystyle BD^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma .}
Cela peut être réécrit en
(
a
2
+
d
2
−
b
2
−
c
2
)
2
4
=
(
a
d
)
2
cos
2
α
+
(
b
c
)
2
cos
2
γ
−
2
a
b
c
d
cos
α
cos
γ
.
{\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .}
En ajoutant ceci à la formule ci-dessus donnant
4
S
2
{\displaystyle 4S^{2}}
, on obtient
4
S
2
+
(
a
2
+
d
2
−
b
2
−
c
2
)
2
4
=
(
a
d
)
2
+
(
b
c
)
2
−
2
a
b
c
d
cos
(
α
+
γ
)
=
(
a
d
+
b
c
)
2
−
2
a
b
c
d
−
2
a
b
c
d
cos
(
α
+
γ
)
=
(
a
d
+
b
c
)
2
−
4
a
b
c
d
(
cos
(
α
+
γ
)
+
1
2
)
=
(
a
d
+
b
c
)
2
−
4
a
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}4S^{2}+{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\left({\frac {\cos(\alpha +\gamma )+1}{2}}\right)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).\end{aligned}}}
Après factorisation de
(
a
2
+
d
2
−
b
2
−
c
2
)
2
−
4
(
a
d
+
b
c
)
2
{\displaystyle (a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}-4(ad+bc)^{2}}
, on obtient :
16
S
2
=
(
a
+
b
+
c
−
d
)
(
a
+
b
−
c
+
d
)
(
a
−
b
+
c
+
d
)
(
−
a
+
b
+
c
+
d
)
−
16
a
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
,
{\displaystyle 16S^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right),}
qui s'écrit aussi
S
2
=
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
−
a
b
c
d
cos
2
(
α
+
γ
2
)
{\displaystyle S^{2}=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}
,
d'où la formule de Bretschneider.
Voir une autre démonstration dans [3] .
En ajoutant les aires des quatre triangles découpés par les diagonales, on obtient :
S
=
1
2
e
f
|
sin
θ
|
=
1
2
‖
A
C
→
∧
B
D
→
‖
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}ef|\sin \theta |={\frac {1}{2}}\lVert {\overrightarrow {AC}}\land {\overrightarrow {BD}}\ \rVert }
où e et f sont les longueurs des diagonales et
θ
{\displaystyle \theta }
une mesure de leur angle.
En utilisant la formule d'Al-Kashi dans les quatre triangles découpés par les diagonales, on obtient :
2
e
f
cos
θ
=
±
(
a
2
−
b
2
+
c
2
−
d
2
)
{\displaystyle 2ef\cos \theta =\pm (a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})}
.
D'où, d'une part :
S
=
1
4
|
a
2
−
b
2
+
c
2
−
d
2
|
⋅
|
tan
θ
|
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}|a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}|\cdot |\tan \theta |}
,
d'autre part [1] :
S
=
1
4
4
e
2
f
2
−
(
a
2
−
b
2
+
c
2
−
d
2
)
2
{\displaystyle S={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}}}
.
Cette formule peut être modifiée en
S
=
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
−
1
4
(
a
c
+
b
d
+
e
f
)
(
a
c
+
b
d
−
e
f
)
{\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}}}
,
forme due à Coolidge [4] , montrant le lien avec la formule de Bretschneider.
Cette forme permet aussi de retrouver la formule de Brahmagupta pour le cas inscriptible, car dans ce cas, d'après le théorème de Ptolémée ,
a
c
+
b
d
=
e
f
{\displaystyle ac+bd=ef}
.
Le fisc égyptien utilisait pour le calcul de l'aire d'un champ quadrilatéral convexe le produit des longueurs moyennes des côtés opposés :
S
′
=
A
B
+
C
D
2
×
A
C
+
B
D
2
{\displaystyle S'={\frac {AB+CD}{2}}\times {\frac {AC+BD}{2}}}
[5] .
On a
S
⩽
S
′
{\displaystyle S\leqslant S'}
avec égalité si et seulement si le champ est rectangulaire[5] .
Démonstration
4
S
′
=
A
B
.
A
C
+
B
A
.
B
D
+
C
A
.
C
D
+
D
B
.
D
C
⩾
A
B
.
A
C
.
sin
α
+
B
A
.
B
D
.
sin
β
+
C
A
.
C
D
.
sin
γ
+
D
B
.
D
C
.
sin
δ
=
4
S
{\displaystyle 4S'=AB.AC+BA.BD+CA.CD+DB.DC\geqslant AB.AC.\sin \alpha +BA.BD.\sin \beta +CA.CD.\sin \gamma +DB.DC.\sin \delta =4S}
Il y a égalité si et seulement si les sinus valent 1, c'est-à-dire si le quadrilatère est un rectangle.
Michel Lafond, « Les formules de Bretschneider, Coolidge et Bramagupta », Feuille de vigne , octobre 2009 , p. 13-16 (lire en ligne ) (de) C.A. Bretschneider, « Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. », Archiv der Mathematik und Physik, Band 2 , 1842 , p. 225-261 (lire en ligne ) (en) J.L. Coolidge, « A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral », Amer. Math. Monthly 46 , 1939 , p. 345-347 (lire en ligne ) Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde , Flamarion, 2017 (lire en ligne ) , p. 43