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fonction ayant un sens de variation constant De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En mathématiques, une fonction monotone est une fonction entre ensembles ordonnés qui préserve ou renverse l'ordre. Dans le premier cas, on parle de fonction croissante et dans l'autre de fonction décroissante. Ce concept est tout d'abord apparu en analyse réelle pour les fonctions numériques et a été généralisé ensuite dans le cadre plus abstrait de la théorie des ordres.
Intuitivement (voir les figures ci-contre), la représentation graphique d'une fonction monotone sur un intervalle est une courbe qui « monte » constamment ou « descend » constamment. Si cet aspect graphique est immédiatement parlant, ce n'est cependant pas la seule forme sous laquelle la propriété de monotonie se révèle : une fonction monotone est une fonction qui a toujours le même effet sur la relation d'ordre. Pour une fonction croissante, l'ordre qui existe entre deux variables se retrouve dans l'ordre de leurs images, pour une fonction décroissante, l'ordre des images est inversé par rapport à l'ordre des antécédents.
Pour une fonction dérivable sur un intervalle, l'étude de la monotonie est liée à l'étude du signe de la dérivée, qui est constant : toujours positif ou toujours négatif.
Soient un intervalle de et une fonction à valeurs réelles, dont le domaine de définition contient cet intervalle .
Monotonie au sens large. On dit que est[1] :
Exemple : pour tout réel , notons ici la partie entière de (c'est l'unique entier relatif tel que ). La fonction est croissante sur mais pas strictement croissante (cf. infra), car elle est constante sur chaque intervalle d'extrémités entières.
Monotonie stricte. On dit que est :
Exemples : soit un entier strictement positif.
Remarque 1 : pour qu'une fonction soit croissante (respectivement strictement croissante) sur , il faut et il suffit que soit décroissante (resp. strictement décroissante) sur .
Remarque 2 : pour qu'une fonction monotone ne le soit pas strictement, il faut (et bien sûr il suffit) que contienne un intervalle non trivial (c'est-à-dire non vide et non réduit à un point) sur lequel est constante[2].
Soient deux fonctions croissantes sur . Alors :
On a une propriété analogue pour les fonctions strictement croissantes.
Soient deux fonctions et , où et sont deux intervalles réels tels que ; on peut définir la fonction composée .
Si est monotone sur et monotone sur , alors est monotone sur . Plus précisément :
On a une propriété analogue pour les fonctions strictement monotones.
Une fonction strictement monotone sur un intervalle est injective, c'est-à-dire que deux éléments de distincts ont des images distinctes.
En effet, si sont deux éléments de distincts on a (en supposant par exemple strictement croissante)
si alors ,
si alors ,
donc dans les deux cas, et sont distincts.
Cette propriété, associée au théorème des valeurs intermédiaires, se révèle utile pour la recherche du nombre de zéros d'une fonction.
Soient un intervalle ouvert (borné ou non) et une fonction croissante . Alors :
Un théorème analogue pour les fonctions décroissantes s'en déduit immédiatement en remplaçant par .
Un corollaire de ce théorème est la continuité de toute surjection monotone d'un intervalle sur un intervalle.
Une autre application classique concerne les fonctions de répartition des variables aléatoires réelles.
Théorème de Froda (1929) : l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction monotone est fini ou dénombrable (on dit qu'il est au plus dénombrable). En effet, en notant , la famille de réels strictement positifs est sommable donc au plus dénombrable pour tout inclus dans l'intervalle de monotonie. Froda a en fait démontré que pour une fonction réelle quelconque, l'ensemble des points de discontinuité de première espèce est au plus dénombrable. Or pour une fonction monotone, le théorème de la limite monotone dit exactement que ce type de discontinuité est le seul possible.
Une utilisation classique et importante du calcul différentiel est la caractérisation, parmi les fonctions dérivables (d'une variable réelle, et à valeurs réelles), de celles qui sont monotones (au sens large ou au sens strict) sur un intervalle.
Théorème — Soient un intervalle réel et une application dérivable.
Une fonction croissante est dérivable presque partout (on montre d'abord – grâce à l'inégalité maximale de Hardy-Littlewood – que ses quatre dérivées de Dini sont finies presque partout, puis – grâce au théorème de recouvrement de Vitali – qu'elles sont égales[5],[6] ; une autre méthode pour cette seconde étape[7] est de la démontrer dans le cas où la fonction est continue – grâce au lemme du soleil levant – puis de remarquer que toute fonction croissante est somme d'une fonction croissante continue et d'une « fonction de saut » et que cette dernière est presque partout de dérivée nulle).
On en déduit deux corollaires :
Une application entre deux espaces topologiques est dite monotone si chacune de ses fibres est connexe c'est-à-dire que pour tout dans l'ensemble (qui peut être vide) est connexe.
En analyse fonctionnelle, un opérateur sur un espace vectoriel topologique (qui peut être non linéaire) est appelé opérateur monotone si
Le théorème de Kachurovskii (en) montre que les dérivées des fonctions convexes sur les espaces de Banach sont des opérateurs monotones.
La théorie des ordres traite des ensembles partiellement ordonnés et des ensembles préordonnés généraux, en plus des intervalles de réels. La définition ci-dessus de la monotonie est également pertinente dans ces cas. Par exemple, considérons une application d'un ensemble ordonné dans un ensemble ordonné .
Les applications monotones sont centrales dans la théorie des ordres. Certaines applications monotones remarquables sont les plongements d'ordres (applications pour lesquelles si et seulement si et les isomorphismes d'ordre (les plongements d'ordres qui sont surjectifs).
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