En mathématiques , la fonction β de Dirichlet , aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L , après la fonction zêta de Riemann . C'est la fonction L de Dirichlet associée au caractère de Dirichlet alterné de période 4.
Graphique de la fonction bêta de Drichlet Elle est définie, pour tout complexe s de partie réelle strictement positive, par la série :
β
(
s
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
s
{\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}}
ou par l'intégrale
β
(
s
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
x
s
−
1
e
x
e
2
x
+
1
d
x
{\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}\mathrm {e} ^{x}}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}\,dx}
Autrement, on peut définir la fonction bêta de Dirichlet par la fonction zêta de Hurwitz , qui est valable pour tous nombres complexes :
β
(
s
)
=
4
−
s
(
ζ
(
s
,
1
/
4
)
−
ζ
(
s
,
3
/
4
)
)
{\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta (s,1/4)-\zeta (s,3/4)\right)}
Ou par une autre définition équivalente, du point de vue de la fonction transcendante de Lerch :
β
(
s
)
=
2
−
s
Φ
(
−
1
,
s
,
1
2
)
{\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{\frac {1}{2}}\right)}
qui est aussi valable pour tous nombres complexes.
Cette fonction se prolonge en une fonction méromorphe sur le plan complexe.
L'équation fonctionnelle suivante permet d'étendre la fonction β à la partie gauche du plan complexe Re(s ) < 1.
β
(
s
)
=
(
π
2
)
s
−
1
Γ
(
1
−
s
)
cos
(
π
s
2
)
β
(
1
−
s
)
{\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\beta (1-s)}
où Γ est la fonction gamma d'Euler .
On peut noter les valeurs particulières suivantes :
β
(
0
)
=
1
2
{\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}}}
β
(
1
)
=
π
4
{\displaystyle \beta (1)={\frac {\pi }{4}}}
[1]
β
(
2
)
=
{\displaystyle \beta (2)=}
constante de Catalan ,
β
(
3
)
=
π
3
32
{\displaystyle \beta (3)={\frac {\pi ^{3}}{32}}}
β
(
4
)
=
ψ
3
(
1
/
4
)
−
8
π
4
768
{\displaystyle \beta (4)={\frac {\psi _{3}\left(1/4\right)-8\pi ^{4}}{768}}}
ψ
3
{\displaystyle \psi _{3}}
fonction polygamma d'indice 3,
β
(
5
)
=
5
π
5
1536
{\displaystyle \beta (5)={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}
β
(
7
)
=
61
π
7
184320
{\displaystyle \beta (7)={\frac {61\pi ^{7}}{184320}}}
Plus généralement, les valeurs prises par la fonction β aux entiers positifs impairs sont des multiples rationnels de puissances de π.
β
(
2
k
+
1
)
=
E
2
k
2
(
2
k
)
!
(
π
2
)
2
k
+
1
{\displaystyle \beta (2k+1)={\frac {E_{2k}}{2(2k)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2k+1}}
où les
E
2
k
{\displaystyle E_{2k}}
nombres d'Euler . Et les valeurs de β aux entiers négatifs pairs sont données aussi par les nombres d'Euler avec :
β
(
−
k
)
=
E
k
2
{\displaystyle \beta (-k)={{E_{k}} \over 2}}
Par contre, on ne connaît pas grand chose sur les valeurs aux entiers positifs pairs.
On a également :
∀
n
∈
N
,
β
(
n
)
=
Ti
n
(
1
)
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\beta (n)=\operatorname {Ti} _{n}(1)}
où Tin désigne la fonction arc tangente intégral d'ordre n .
De plus, par une intégrale de Malmsten , on peut montrer que[2]
β
′
(
1
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
ln
(
2
n
+
1
)
2
n
+
1
=
π
4
(
γ
−
ln
π
)
+
π
ln
Γ
(
3
4
)
{\displaystyle \beta '(1)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}\left(\gamma -\ln \pi \right)+\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}
(en) I. V. Blagouchine, « Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results », Ramanujan J. vol. 35, no 1, 2014 , p. 21–110 (DOI 10.1007/s11139-013-9528-5 lire en ligne )
Bibliographie
(en) J. Spanier et K. B. Oldham, An Atlas of Functions , Hemisphere, New York, 1987(en) Michael A. Idowu, « Fundamental relations between the Dirichlet beta function, euler numbers, and Riemann zeta function », 2012 (arXiv 1210.5559 
