Fonction bêta de Dirichlet

En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C'est la fonction L de Dirichlet associée au caractère de Dirichlet alterné de période 4.

Graphique de la fonction bêta de Drichlet

Elle est définie, pour tout complexe s de partie réelle strictement positive, par la série :

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}}$,

ou par l'intégrale

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}\mathrm {e} ^{x}}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}\,dx}$.

On peut aussi définir la fonction bêta de Dirichlet à partir de la fonction zêta de Hurwitz, définition qui est valable pour tout nombre complexe :

${\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta (s,1/4)-\zeta (s,3/4)\right)}$.

Ou par une autre définition équivalente, du point de vue de la fonction transcendante de Lerch :

${\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{\frac {1}{2}}\right)}$,

qui est aussi valable pour tout nombre complexe.

Cette fonction se prolonge en une fonction méromorphe sur le plan complexe.

Équation fonctionnelle

L'équation fonctionnelle suivante permet d'étendre la fonction β à la partie gauche du plan complexe Re(s) < 1.

${\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\beta (1-s)}$

où Γ est la fonction gamma d'Euler.

Valeurs spéciales

On peut noter les valeurs particulières suivantes :

• ${\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}}}$ (voir série de Grandi ${\displaystyle 1-1+1-1\cdots }$)
• ${\displaystyle \beta (1)={\frac {\pi }{4}}}$ (série de Leibniz)^[1],
• ${\displaystyle \beta (2)=K}$, où ${\displaystyle K}$ la constante de Catalan,
• ${\displaystyle \beta (3)={\frac {\pi ^{3}}{32}}}$, voir la suite A153071 de l'OEIS,
• ${\displaystyle \beta (4)={\frac {\psi _{3}\left(1/4\right)-8\pi ^{4}}{768}}}$, où ${\displaystyle \psi _{3}}$ est la fonction polygamma d'indice 3, voir la suite A175572 de l'OEIS,
• ${\displaystyle \beta (5)={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}$, voir la suite A175571 de l'OEIS,
• ${\displaystyle \beta (7)={\frac {61\pi ^{7}}{184320}}}$.

Plus généralement, les valeurs prises par la fonction β aux entiers positifs impairs sont des multiples rationnels de puissances de π :

• ${\displaystyle \beta (2k+1)={\frac {E_{k}}{2(2k)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2k+1}}$,

  où les ${\displaystyle E_{k}}$ sont des nombres d'Euler.

  Voir une démonstration dans l'article sur les permutations alternées.

Les valeurs de β aux entiers négatifs pairs sont aussi données par les nombres d'Euler :

${\displaystyle \beta (-2k)={{E_{k}} \over 2}}$, ${\displaystyle \beta (-2k-1)=0}$^{[à vérifier]}.

Par contre, on ne connaît pas grand chose sur les valeurs aux entiers positifs pairs.

On a également :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\beta (n)=\operatorname {Ti} _{n}(1)}$

où Ti_n désigne la fonction arc tangente intégral d'ordre n.

De plus, par une intégrale de Malmsten, on peut montrer que^[2]:

${\displaystyle \beta '(1)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}\left(\gamma -\ln \pi \right)+\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}$