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relation entre deux foncteurs De Wikipédia, l'encyclopédie libre
L'adjonction est une situation omniprésente en mathématiques, et formalisée en théorie des catégories par la notion de foncteurs adjoints. Une adjonction entre deux catégories et est une paire de deux foncteurs et vérifiant que, pour tout objet X dans C et Y dans D, il existe une bijection entre les ensembles de morphismes correspondants
et la famille de bijections est naturelle en X et Y. On dit que F et G sont des foncteurs adjoints et plus précisément, que F est « adjoint à gauche de G » ou que G est « adjoint à droite de F ».
Soient et deux catégories localement petites, et et deux foncteurs. On dit que F est adjoint à gauche de G (ou que G est adjoint à droite de F) s'il existe un isomorphisme naturel du foncteur Hom(F(-), -) vers le foncteur Hom(-, G(-)), ces deux foncteurs allant de la catégorie vers la catégorie des ensembles. Autrement dit :
Ainsi, si l'on a un morphisme r : F(X) → Y, alors :
.
En particulier, si, pour tout X de , on prend Y = F(X) et , l'image de r par est un morphisme de X vers GF(X). La famille de ces morphismes définit une transformation naturelle du foncteur vers le foncteur GF, appelée unité de l'adjonction de F et G.
De même, si, pour tout Y, on prend X = G(Y), l'image réciproque de par est un morphisme de FG(Y) vers Y. La famille de ces morphismes définit une transformation naturelle du foncteur FG vers le foncteur , appelée co-unité de l'adjonction de F et G.
L'unité et la co-unité permettent de reconstituer les bijections . En effet, pour tout morphisme r : F(X) → Y, on a , et pour tout morphisme u : X → G(Y), on a .
Le foncteur oubli commute avec les produits mais pas avec les sommes dans les exemples ci-dessus. Un produit direct de modules, d'espaces vectoriels, de groupes, etc., se construit sur le produit cartésien mais la somme ne se construit pas sur l'union disjointe. Dans la catégorie des espaces topologiques par contre, la somme se construit sur l'union disjointe.
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