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corps de rupture d'un polynôme cyclotomique De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En théorie algébrique des nombres, on appelle extension cyclotomique du corps ℚ des nombres rationnels tout corps de rupture d'un polynôme cyclotomique, c'est-à-dire tout corps de la forme ℚ(ζ) où ζ est une racine de l'unité.
Ces corps jouent un rôle crucial, d'une part dans la compréhension de certaines équations diophantiennes : par exemple, l'arithmétique (groupe des classes, notamment) de leur anneau des entiers permet de montrer le dernier théorème de Fermat dans de nombreux cas (voir nombre premier régulier) ; mais aussi, dans la compréhension des extensions algébriques de ℚ, ce qui peut être considéré comme une version abstraite du problème précédent : le théorème de Kronecker-Weber, par exemple, assure que toute extension abélienne est contenue dans une extension cyclotomique. Enfin, la théorie d'Iwasawa permet d'étudier ces extensions cyclotomiques, en ne les considérant plus séparément, mais comme des familles cohérentes.
Les extensions cyclotomiques peuvent aussi être définies pour d'autres corps :
Notons n l'ordre de ζ, c'est-à-dire que ζ est une racine primitive n-ième de l'unité, ou encore une racine du polynôme cyclotomique Φn.
On considère le corps ℚ(ζp), pour p un nombre premier. Alors, on peut montrer que l'équation xp + yp = zp n'admet pas de solution (x, y, z) entière non triviale avec xyz premier à p, sous l'hypothèse que p ne divise pas le nombre de classes de ℚ(ζp). Un tel nombre premier est appelé nombre premier régulier. Ceci est souvent appelé premier cas du dernier théorème de Fermat, et a été étudié par Ernst Kummer. Kummer a notamment un critère portant sur les nombres de Bernoulli pour déterminer si un nombre premier est régulier. Il est actuellement connu qu'une infinité de nombres premiers ne sont pas réguliers : en revanche, on ne sait pas s'il en existe une infinité de réguliers.
Plus précisément, on peut se demander pour quelles valeurs de n l'anneau ℤ[ζn] est principal, c'est-à-dire que le nombre de classes est 1. Ceci est connu : les seuls nombres n tels que ℤ[ζn] est principal (ou, ce qui ici est équivalent : factoriel), sont[2] : 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84, ainsi que les doubles des n impairs de cette liste puisqu'alors, ℚ(ζ2n) = ℚ(ζn).
Le fait que le corps soit CM permet de faire agir Gal(ℚ(ζp)/ℚ(ζp+ζp−1)) ≃ ℤ/2ℤ sur les différents objets arithmétiques liés à ℚ(ζp). En particulier, cela permet (voir représentation des groupes) de définir deux parties dans le nombre de classes : la partie + et la partie –. La conjecture de Vandiver s'énonce alors : « pour tout nombre premier p, p ne divise pas la partie + du nombre de classes ». En particulier, un nombre premier régulier vérifie la conjecture de Vandiver. Sous cette hypothèse, et une hypothèse supplémentaire sur les unités du sous-corps réel ℚ(ζp+ζp−1), on peut montrer le deuxième cas du théorème de Fermat : xp + yp = zp n'admet pas de solutions entières non triviales telles que p ne divise pas xy et p divise z.
La conjecture de Vandiver est à l'heure actuelle encore une conjecture. Elle a été vérifiée numériquement pour p < 227 = 134 217 728[3].
Pour chaque corps de nombres et chaque nombre premier p, une tour infinie d'extension peut être considérée : la ℤp-extension cyclotomique. Si est impair, la ℤp-extension cyclotomique de ℚ est la tour d'extensions définie via la correspondance de Galois comme la sous-extension fixée par le sous-groupe isomorphe à ℤ/(p–1)ℤ de Gal(ℚ(ζpn)/ℚ) ≃ ℤ/(p–1)ℤ × ℤ/pn–1ℤ. Le corps est ainsi une extension galoisienne de ℚ, et même cyclique d'ordre pn ; par définition de la limite projective, la réunion des est alors galoisienne sur ℚ de groupe de Galois ℤp, d'où l'appellation.
La ℤp-extension cyclotomique d'un corps de nombres quelconque est obtenue par compositum avec celle-ci.
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