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Exponentielle de base a
fonction mathématique / De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
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En analyse réelle, l'exponentielle de base a est la fonction notée expa qui, à tout réel x, associe le réel ax. Elle n'a de sens que pour un réel a strictement positif. Elle étend à l'ensemble des réels la fonction, définie sur l'ensemble des entiers naturels, qui à l'entier n associe an. C'est donc la version continue d'une suite géométrique.
Notation | |
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Réciproque | |
Dérivée | |
Primitives |
Ensemble de définition | |
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Ensemble image |
Valeur en zéro |
1 |
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Limite en +∞ | |
Limite en −∞ |
Elle s'exprime à l'aide des fonctions usuelles exponentielle et logarithme népérien sous la forme
Elle peut être définie comme la seule fonction continue sur ℝ, prenant la valeur a en 1 et transformant une somme en produit.
Pour a différent de 1, c'est la réciproque de la fonction logarithme de base a. On appelle d'ailleurs parfois ces fonctions les fonctions antilogarithmes. Le cas a = e correspond aux fonctions exponentielle et logarithme népérien.
Les fonctions exponentielles sont les seules fonctions dérivables sur ℝ, proportionnelles à leur dérivée et prenant la valeur 1 en 0. Elles permettent de modéliser les phénomènes physiques ou biologiques dans lesquels la vitesse de croissance est proportionnelle à la taille de la population.
On trouve aussi le terme de fonctions exponentielles pour des fonctions dont l'expression est N ax.