Dérivée de Pansu

En mathématiques, la dérivée de Pansu est une dérivée sur un groupe de Carnot, introduite par Pierre Pansu^[1]. Un groupe de Carnot ${\displaystyle G}$ admet une famille de dilatations à un paramètre, ${\displaystyle \delta _{s}\colon G\to G}$. Si ${\displaystyle G_{1}}$ et ${\displaystyle G_{2}}$ sont deux groupes de Carnot, la dérivée de Pansu d'une fonction ${\displaystyle f\colon G_{1}\to G_{2}}$ en un point donné ${\displaystyle x\in G_{1}}$ est la fonction ${\displaystyle Df(x)\colon G_{1}\to G_{2}}$ définie par

${\displaystyle Df(x)(y)=\lim _{s\to 0}\delta _{1/s}(f(x)^{-1}f(x\delta _{s}y))\,,}$

pourvu que cette limite existe.

Un théorème clé pour cette notion est le théorème de Pansu-Rademacher, qui généralise le théorème de Rademacher et peut s'énoncer comme suit : les fonctions continues et lipschitziennes entre (sous-ensembles mesurables de) groupes de Carnot admettent une dérivée de Pansu presque partout.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pansu derivative » (voir la liste des auteurs).
• Pierre Pansu, « Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un », Annals of Mathematics, iI, vol. 129, n^o 1,‎ 1989, p. 1-60 (DOI 10.2307/1971484, lire en ligne)

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1. Pansu (1989).