Dérivée de Pansu

En mathématiques, la dérivée de Pansu est une dérivée sur un groupe de Carnot, introduite par Pierre Pansu^[1]. Un groupe de Carnot ${\displaystyle G}$ admet une famille de dilatations à un paramètre, ${\displaystyle \delta _{s}\colon G\to G}$. Si ${\displaystyle G_{1}}$ et ${\displaystyle G_{2}}$ sont deux groupes de Carnot, la dérivée de Pansu d'une fonction ${\displaystyle f\colon G_{1}\to G_{2}}$ en un point donné ${\displaystyle x\in G_{1}}$ est la fonction ${\displaystyle Df(x)\colon G_{1}\to G_{2}}$ définie par

${\displaystyle Df(x)(y)=\lim _{s\to 0}\delta _{1/s}(f(x)^{-1}f(x\delta _{s}y))\,,}$

pourvu que cette limite existe.

Un théorème clé pour cette notion est le théorème de Pansu-Rademacher, qui généralise le théorème de Rademacher et peut s'énoncer comme suit : les fonctions continues et lipschitziennes entre (sous-ensembles mesurables de) groupes de Carnot admettent une dérivée de Pansu presque partout.