Cross-cap

Une cross-cap est le résultat d'une somme connexe entre une variété de dimension 2 et un plan projectif. Intuitivement, elle consiste à percer un trou dans une variété et à recoudre le bord en identifiant les points diamétralement opposés^[1].

Exemples et propriétés

Deux vues de la sphère avec une cross-cap, formant le plan projectif. Deux autres immersions du plan projectif dans l'espace de dimension 3 sont données par la surface de Boy et la surface romaine.

• une sphère avec une cross-cap est le plan projectif réel lui-même, la sphère étant élément neutre pour la somme connexe ;
• une sphère avec deux cross-caps a pour modèle la bouteille de Klein^[2] ;
• une sphère avec trois cross-caps est appelée surface de Dyck, et est homéomorphe à la somme connexe du plan projectif et du tore d'après un théorème de Walther von Dyck^[3].

Dans une immersion dans R³, la cross-cap se traduit par une auto-intersection, à proximité de laquelle la cross-cap ressemble au parapluie de Whitney, donc possède des points cuspidaux (en).

Classification des variétés de dimension 2

Ces surfaces apparaissent dans le théorème de classification des variétés de dimension 2 : toute variété compacte de dimension 2 et sans bord est homéomorphe à la sphère (munie d'un certain nombre d'anses) avec 0, 1, ou 2 cross-caps^[4]. En effet, notons ${\displaystyle T_{1}}$ le tore, ${\displaystyle T_{n}}$ le tore à n trous (somme connexe de n tores ${\displaystyle T_{1}}$), ${\displaystyle U_{1}}$ le plan projectif, ${\displaystyle U_{n}}$ la somme connexe de n plans projectifs (ou la sphère munie de n cross-caps). ${\displaystyle K=U_{2}}$ est la bouteille de Klein, et le théorème de Dick énonce que ${\displaystyle U_{3}=T_{1}\#U_{1}}$, et plus généralement, pour tout entier n, ${\displaystyle U_{2n}=T_{n-1}\#K}$ et ${\displaystyle U_{2n+1}=T_{n}\#U_{1}}$. On montre alors que toute surface compacte sans bord est homéomorphe à un ${\displaystyle T_{n}}$ (0 cross-cap) si elle est orientable, et à un ${\displaystyle U_{n}}$ si elle est non-orientable (tore à plusieurs trous muni de 1 cross-cap si n est impair, et 2 cross-caps si n est pair).

Notes et références

1. (en) Eric W. Weisstein, « Cross-Cap », sur MathWorld
2. (en) H. S. M. Coxeter et W. O. J. Moster, Generators and relations for discrete groups (third edition), Springer-Verlag New-York, Heidelberg Berlin, 1972, p. 25
3. (en) Eric W. Weisstein, « Dyck's Theorem », sur MathWorld, à ne pas confondre avec un autre théorème du même mathématicien : (en) Eric W. Weisstein, « vonDyck's Theorem », sur MathWorld.
4. Marcel Berger et Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces, PUF, 2005 (ISBN 2-13-044708-2), p. 156

Liens externes

• Jos Leys, « The cross-cap » : animation d'une création d'une cross-cap.

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