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En mathématiques, la cohomologie de De Rham est un outil de topologie différentielle, c'est-à-dire adapté à l'étude des variétés différentielles. Il s'agit d'une théorie cohomologique fondée sur des propriétés algébriques des espaces de formes différentielles sur la variété. Elle porte le nom du mathématicien Georges de Rham.
Le théorème de De Rham (en) affirme que le morphisme naturel, de la cohomologie de De Rham d'une variété différentielle vers sa cohomologie singulière[1] à coefficients réels, est bijectif[2].
Soit M une variété différentielle, décrivons l'algèbre différentielle graduée (en) (Ω*(M), d) de ses formes différentielles. Pour tout entier naturel p :
On note dω la dérivée extérieure de ω quand on ne veut pas préciser son degré ; il faut alors sous-entendre dpω où p est le degré de ω.
L'étude de la cohomologie de De Rham est l'étude de la "conservation" de certaines propriétés algébriques le long de la chaîne:
dans un certain sens expliqué plus bas.
Lorsque (i.e. ), on dit que la forme différentielle est fermée.
Lorsqu’il existe une forme telle que (i.e. ), on dit que la forme différentielle est exacte.
On a pour tout p la relation dp ∘ dp – 1 = 0, souvent abrégé en . On en déduit le :
Théorème — Toute forme différentielle exacte est fermée.
Le lemme de Poincaré permet de montrer que la réciproque est vraie localement :
Lemme de Poincaré — Toute forme différentielle fermée est localement exacte.
Plus précisément, pour toute forme fermée définie sur un ouvert U de M contenant x, il existe un voisinage de x contenu dans U sur lequel la restriction de la forme est exacte.
En effet, si M ⊂ ℝn est un ouvert étoilé, ou un ouvert difféomorphe à un ouvert étoilé, un calcul montre que toute forme fermée est exacte. Maintenant si M est quelconque, tout point admet un voisinage difféomorphe à une boule et on est ramené au cas précédent.
Un lemme de Poincaré global n'existe pas. Par exemple, sur le plan ℝ2 privé de l'origine, la forme est fermée, mais non exacte.
Dans le cas général, le p-ième groupe de cohomologie de De Rham mesure l'obstruction pour une forme fermée à être exacte.
Pour tout entier naturel p, on note :
Comme , on a , donc :
l'espace des formes exactes est un sous-espace des formes fermées.
On définit l'algèbre graduée H*(M) — la cohomologie de De Rham de M — comme l'homologie du complexe de cochaînes de De Rham associé à l'algèbre différentielle graduée (Ω*(M), d).
Sa composante de degré p est donc l'espace vectoriel quotient de Zp(M) par Bp(M) :
c'est-à-dire l'espace des p-formes fermées modulo le sous-espace des p-formes exactes.
Hp(M) = 0 si p < 0 ou si p est strictement supérieur à la dimension de M.
Si M est compacte, chaque Hp(M) est de dimension finie[3].
La dimension de Hp(M) s'appelle le p-ième nombre de Betti (réel), noté bp(M).
Toute application différentiable f : M → N entre deux variétés induit un morphisme d'algèbres différentielles graduées Ω(f) : Ω*(N) → Ω*(M) donc un morphisme d'algèbres graduées f* : H*(N) → H*(M). On vérifie facilement que H* est un foncteur (contravariant).
Si deux applications différentiables f, g : M → N sont homotopes, elles le sont différentiablement[4]. On parvient alors à construire[5],[6],[7] un opérateur L : Ω(N) → Ω(M) de degré –1 tel que Ω(g) – Ω(f) = d∘L + L∘d, ce qui prouve que g* = f*.
Toute application continue de M dans N est homotope à une application différentiable[8],[9]. Elle détermine donc encore un morphisme de H*(N) dans H*(M)[10].
de degré maximum : une orientation de M étant donnée, l'application
de dans R est nulle sur les formes exactes d'après le théorème de Stokes. Elle passe donc au quotient en une application de Hn(M) dans R, et l'on démontre[11] qu'on obtient ainsi un isomorphisme.
Un élément de Hp(M) est une classe d'équivalence de formes différentielles de degré p, qui n'admet pas a priori de représentant privilégié. La situation change si M est munie d'une métrique riemannienne g. On peut alors définir un opérateur de divergence
Soit alors
Ces formes sont dites harmoniques.
Le théorème de Hodge-de Rham[12] assure que si M est compacte est isomorphe à Hp(M).
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